探索微專題教學 提高課堂精準度
——以“形如條件的應用”為例

周秋斕

(浙江省湖州市雙林中學 313000)

1 設計背景

平面向量是有效溝通代數和幾何的橋梁，向量也是人們解決數學問題的一種重要數學工具.在高考數學中向量既是一個必考知識點，也是一個創新命題的切入點，?？汲Ｐ?而且在近幾年的考題中，對知識的綜合性和靈活性考查增強，難度相應有所提升.因此，教師在指導學生對平面向量進行復習時，要重視回歸教材，指導學生對教材中向量的定理、例題、習題展開適當的探究與思考，以拓展知識和能力.其中從平面向量基本定理探究出的向量等和線就是一個重要例子，利用向量等和線求解向量線性運算中系數和問題，比建系轉化為代數問題求解更顯自然和流暢，有效降低了知識綜合性要求與運算能力要求．

2 教學過程

2.1 引例點撥

圖1

生1：建系，扇形是圓的一部分，x+y是線性關系，用直線和圓的一部分相交求解.

師：這種方法非常不錯，建系是解決向量問題的一種常用方法.

生2：還可以由圓到三角函數，將x+y轉化為∠AOC的三角函數.

師：轉化為三角函數也是非常精彩的一種解法，求三角函數的最值我們還可采用求導方法.

生3：記OC與AB交點為D，用兩次三點共線，找到兩次等量關系.

教學反思通過引例讓學生體會不同方法的優劣，開拓學生的發散思維，完善學生的數學認知結構，提高學生解決問題和分析問題的能力.

2.2 追本溯源

圖2

推論 ①當等和線A1B1在點O和直線AB之間時，k∈(0,1)；②當直線AB在點O和等和線A1B1之間時，k∈(1,+∞)；③當等和線A1B1在點O上時，k=0；④當等和線A1B1和直線AB在點O兩側時，k<0.

教學反思等和線是平面向量三點共線的擴展，并沒有增加知識，它不過是共線定理和向量平行相結合的簡單推論，將復雜的范圍問題轉化為圖形關系問題,將具體的代數式的運算轉換為距離的比例關系，非常直觀地體現了數形結合的數學思想．

2.3 思維萌芽

下面通過一個例題來內化等和線的概念.

圖3

生1：我發現點P在直線AB上時，由共線定理可知x+y=1，故可以先將選項A排除.

生2：結合圖形，再利用等和線定理不難發現，等和線在點O和直線AB之間，所以x+y∈(0,1)，排除選項B,D，故答案選C.

師：等和線其實就是過點P與直線AB平行的直線，同學們對此概念理解得非常到位，再接再厲哦！

教學反思概念的初步認知需要典型的例題加以深化，通過講練結合，體會概念的形成與運用，學生才能真正理解，并內化進自己的知識模塊.

2.4 能力提升

題型1 求共起點向量線性運算的系數和

生1：我們可以先找出過點P與BD平行的等和線l，而點P在圓上，等和線應該與圓有交點，則λ+μ=k.

師：非常好，利用等和線定理，借助數形結合的思想，我們可以更快速地找到解題思路.

圖4

師：這位兩位同學快速找準了解題目標，而且利用幾何圖形知識秒殺了此題，解得非常漂亮！

題型2 求非共起點向量線性運算的系數和

高中階段所學向量均為自由向量，向量平移后得到相等向量，所以在用等和線求解問題時，平面向量共線定理表達式中的三個向量的起點一致，若兩向量的起點不同，可以將向量平移實現起點重合．

圖5

師：這位同學利用了等和線定理中共起點的特征，再結合圖形的特點把一道高考題秒殺了.

題型3 求向量線性運算系數的線性關系式

有時候所要求解的量是系數的一般線性關系式，而非系數和，考慮到可以通過數乘運算將向量進行同向或者反向伸長、壓縮，所以從理論上講， 所有系數的線性關系式都可以通過改變向量的基底，將所求系數的線性關系式變為兩個新的基向量的系數和．

圖6

師：同學們可以發現x+4y并不是所知基底向量的系數和，所以不能直接用等和線定理.那么，我們可以怎樣轉化呢？

題型4 求基底為變化向量的系數線性系式

當基向量的終點是變化的，使系數和λ+μ=1的等和線也是變化的，所以滿足條件的等和線也相應保持平行變化，從而求解問題的關鍵在于探求保持平行變化中滿足條件的等和線位置．

圖7

生：當點P在EQ與半圓切點時，系數和最小，最小值為1.

教學反思向量的等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數式運算轉化為了距離的比例運算，數形結合思想得到了有效直接的體現．向量的等和線法將復雜的不等式問題、范圍問題、數量積問題轉化為簡單、直接、操作方便的點到直線距離問題，很多時候用相似即可迅速解決，既提高了做題時間效率和正確率，又提升了學生的學習熱情和學習興趣，還提高了課堂教學的有效性和精準度.

2.5 陌上花開

事實上，對于平面向量基本定理系數問題，與向量等和線相對應的還有等差線、等積線、等商線和等平方和線等.如果進一步把平面向量推廣到空間向量，則可以產生等和面.

圖8

圖9

圖10

2.6 課堂小結(略)

3 教學反思

數學家波利亞說過：“良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至比知識的廣泛更為重要，至少在有些情況下，知識太多可能反而成了累贅，它可能會妨礙解題者去看出一條簡單的途徑，而良好的組織則有利而無弊.”既然我們能將不同的問題作為一個專題集中起來進行復習，那么這些問題之間必然存在內在的聯系，解決問題的方法也必定存在某種統一性.因此，我們要把握好微專題教學，提高課堂教學精準度，就必須要做到以下幾點.

(2)構“路線圖”，促完整性.微專題復習課的重點應放在讓學生生成解決本專題問題的基本“路線圖”及專題所反映的一般數學思想方法上，而不只是關注單個題目的具體解法.要防止復習的碎片化，避免就題論題.將專題教學異化為同類題的綜合訓練，起不到專題復習的效果.

(3)講練結合，注重感悟.在微專題教學中，提升學生思維能力的重要路徑是通過講解、練習引導學生對認知結構中已有的一些解法進行反思與提煉，讓學生認識到知識方法之間的聯系，從而幫助學生感悟技巧，建立起對一類問題的整體認知，進而生成處理一類問題的基本方法.這樣才能讓學生做到舉一反三，觸類旁通.