應(yīng)用模型思想求線段和的最小值

王莉丹 朱寶林

(1.廣西桂林市寶賢中學(xué) 541001；2.廣西桂林市第三中學(xué) 541001)

模型：如圖，點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到P′,即A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，由公理“兩點(diǎn)之間線段最短”知PA+PB的最小值為AB.

例1如圖1，正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為____.

分析定點(diǎn)D、E在直線AC同側(cè)與動(dòng)點(diǎn)P不可能共線，通過軸對(duì)稱將點(diǎn)D、E轉(zhuǎn)化成在直線AC異側(cè)的情形，便可用模型求解.

解∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,∴PD=PB,∴PD+PE=PB+PE,當(dāng)點(diǎn)B、P、E共線時(shí),PD+PE的最小值為BE.

∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.

分析由于定點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過程中不可能共線，利用全等換線段，轉(zhuǎn)化為模型中的兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的問題便可求解.

解連接DN，AD，如圖，易得D(3,5),A(﹣3，0)，C(0，4)，則AC=5.

∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO.

∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC.

∵DB=BC=AC=5，∠DBC=∠ACO，CM=BN，

∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN,

∴AM+AN=DN+AN.

而DN+AN≥AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號(hào))，

解取CD中點(diǎn)E，連結(jié)CP、PE、AE.

而PA+PE≥AE(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、P、E共線時(shí)取等號(hào))，

通過上述問題的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)，解決此類問題通常可以采取的策略是: 把已知問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題，即聯(lián)想我們熟知的幾何基本模型，化歸到“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”的模型來解決，即想方設(shè)法把幾條線段放到同一直線上，常用的換線段方法有軸對(duì)稱、全等、相似等.認(rèn)清了這一點(diǎn)，便能使復(fù)雜問題簡單化，迅速找到問題的突破口.在平面幾何的教學(xué)中，教師要重視幾何基本模型的提煉，幫助學(xué)生在復(fù)雜圖形中識(shí)別或構(gòu)造基本模型,深刻領(lǐng)悟模型的本質(zhì)特征；鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從不同角度拓展模型，并在應(yīng)用中彰顯其魅力，從而促進(jìn)學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累和思維水平的提升，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力.