用“小魚”之針 引“代數”之線
——由“搭小魚”情境引發的思考

孫亞燕

(江蘇省常州市新北區龍虎塘中學 213000)

一、代數式中的“搭小魚”情境

情境1：用火柴棒，按以下方式搭小魚.

搭20條“小魚”用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？

這是七年級上冊第3章《3.3 代數式的值》中的導入情境.通過“搭小魚”數學實驗，讓學生經歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程，幫助學生了解探索規律過程中變量和不變量之間的關系，感悟模型思想，獲得函數的感性認識，體會特殊到一般、一般再到特殊的研究問題的過程.

對于這個情境的處理可以分為以下幾個步驟：

首先，按上述方式搭“小魚”，并在下表中記錄所用火柴棒的根數.

“小魚”條數12345…火柴棒根數81420…

從記錄的數據看，所需火柴棒的根數隨所搭“小魚”條數的增加而增加，讓學生感受兩個變量所需火柴棒根數與“小魚”條數之間的關系：第一條小魚8根，每多搭1條“小魚”就增加6根火柴棒，引導學生關注數量的變化和變化規律，讓學生感受對應的思想，獲得函數的感性認識.

其次，引導學生由于“小魚”條數的不確定，可以引進字母n來表示“小魚”的條數，增強學生的數學符號意識.鼓勵學生用含n的代數式來表示所需火柴棒的根數，讓學生感受數學的建模過程.

最后，求解驗證探索獲得的規律是否正確，并且可以根據問題需要，用具體數值代替代數式中的字母，計算代數式的值，感受一般到特殊的過程.

二、一元一次方程中的“搭小魚”情境

情境2：我們知道，按圖1的方式搭n條“小魚”需要[8+6(n-1)]根火柴棒.

圖1

搭n條“小魚”用了140根火柴棒，怎樣用方程來描述其中數量之間的關系？

這是七年級上冊第4章《4.1 從問題到方程》中的“試一試”.這個情境主要幫助學生如何由代數式過渡到方程，加深對代數式和方程關系的理解.

學生經歷“方程”的建模過程：從實際情境中抽象出數學問題，然后對數學問題進行分析，找到題中的“已知量、未知量、等量關系”，從而建立方程模型，理解建立方程模型的關鍵是找到“等量關系”.通過本節課的教學，學生知道當設好未知數后，可以用含未知數的代數式來表示等量關系中的量，最后根據等量關系建立方程，同時，理解代數式的值確定，就可以利用方程求出其中字母所表示的數的值.

三、一元一次不等式中的“搭小魚”情境

情境3：按圖1的搭法，用少于50根的火柴棒最多可以搭多少條“小魚”？

這是七年級下冊第11章《11.5 用一元一次不等式解決問題》中的情境導入.學生可能會先根據所需火柴棒根數與“小魚”條數之間的變化關系進行推理、猜想和枚舉，教師對學生的推理進行肯定，然后教師可以提出疑問“假如有少于10000根火柴棒呢？”引導學生用不等式模型進行求解.

通過學生熟悉的情境探索用一元一次不等式解決問題的一般過程，讓學生感覺更加親切，從而激發學生的探索欲望，讓學生進一步感受代數式、方程與不等式之間的聯系.學生體會不等式也是刻畫現實世界的重要數學模型，不等式的建模過程可以類比和遷移方程的建模過程，從而提高學生分析問題和解決問題的能力.

情境4：如圖1，搭1條小魚需要8根火柴棒，每多搭1條小魚就要增加6根火柴棒.如果搭n條小魚所需火柴棒的根數為S，那么它們之間的關系為S=8+6(n-1).

這是八年級上冊第6章《6.1 函數》中的一個情境.主要讓學生感悟所需火柴棒的根數和所搭“小魚”條數之間的數量的變化和變化規律，讓學生感悟對應的思想，加深對函數概念的理解，同時讓學生感悟代數式、方程、不等式與函數之間的關系.

整個“搭小魚”情境的知識鏈讓學生感悟到：所需火柴棒的根數和所搭小魚條數是兩個變量，所需火柴棒的根數隨所搭小魚條數的變化而變化，可以用代數式來表示它們之間的變化規律，當所搭小魚的條數確定時，就可以求代數式的值，就可以確定相應的所需火柴棒的根數；當所用火柴棒的根數確定時，就可以用方程確定所搭小魚的條數；如果所用火柴棒的根數的范圍，通過解不等式就可以確定所搭小魚條數的范圍；一次函數S=8+6(n-1)描述了搭“小魚”過程中，所需火柴棒的根數與所搭“小魚”條數的變化的全過程，從而學生從更高的層次上加深了代數式、方程、不等式與函數之間的理解，讓學生自主建構了代數主干部分的知識鏈，掌握知識內部的體系和結構，學會從宏觀和微觀的角度分析問題.

四、教學中注重發展學生的核心素養

1.讓學生感悟數學抽象的思想

學生的思維處于小學的直觀形象思維水平，教師通過具體的現實情境，讓學生經歷觀察、思考、分析、概括的過程，有助于學生由直觀形象思維過渡到邏輯抽象思維的過程.通過“搭小魚”材料，讓學生經歷把數字表示的數抽象為一般的用字母表示的數，然后用字母代替數字進行運算和推理，逐步培養學生的符號意識，實現學生從算術學習到代數學習的轉變，逐步讓學生由常量數學過渡到變量數學，培養學生的邏輯思維能力，實現學生思維上的跨越.

2.讓學生感悟建模的思想

數學的特點是高度概括性，模型正是高度概括的產物，通過數學建模來建立數學與外部世界的聯系，體現數學的應用價值.《數學課程標準(2011版)》 中指出：通過用代數式、方程、不等式、函數等表述數量關系的過程體會模型的思想；體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.通過“搭小魚”的材料，讓學生經歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的數學過程，讓學生掌握建立模型的過程，形成建立模型的思維習慣，提高學生學習數學的應用意識，實現數學的教育價值.