用一元二次方程解應用題常見的類型及解題方法歸納

摘?要：一元二次方程在初中數學中占有很重要的地位，然而對于很多初中生來說，一遇到應用題就會選擇放棄，左右為難，不知從何下手。文章旨在總結解決應用題的方法，如何正確高效的解決問題，希望通過文章可以幫助那些曾經害怕應用題的學生梳理歸納，得出自己的一套解題思路，正確的解答與一元二次方程有關的大題，從而提高學生的數學水平。

關鍵詞：一元二次方程;梳理歸納;應用題型

一、 背景

一元二次方程是學習初中數學的重點也是難點，近年來都有考查，常以應用題或者綜合題的形式出現，不管是在平時的期末測試還是最后的中考都占有一定的比例，如果是期末考試一般與一元二次方程有關的分數占總分數的20%～30%左右，如果是中考，占得分值5～10分左右。所以說，掌握好一元二次方程的解法并能正確的運用到應用題里面是一件必須做好的事情，尤其是在考試當中，不允許學生抱有僥幸心理，只有平時學習認真，知識點加題型高效掌握才能確保萬無一失，由此利用知識點來解決應用題中的問題是一項值得研究的事情。

二、 解法分析

（一）一元二次方程的概念

方程中只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的方程式。必須同時滿足這兩個條件的方程式才是一元二次方程。

（二）內容

1. 特點：（1）有且只有一個未知數;（2）該未知數最高次為2;（3）整式方程。

課堂上教師給出幾個方程形式，讓同學們判斷是否為一元二次方程，就根據上面的條件進行判斷。

2. 一般形式：ax2+bx+c=0

其中a，b，c均為常數，且a不可以等于0。

3. 一般解法：分為四種，分別為直接開方法、配方法、公式法、分解因式法。

4. 判斷一元二次方程根的方法

根據判斷式b2-4ac來判斷，當b2-4ac>0時，說明該方程有兩個不相同的實根，當b2-4ac=0時方程的兩個實根相等，這種情況下一般舍去其中一個，也就是說只有一個實數根。b2-4ac<0不存在實數根。

（三）一元二次方程的幾種基本解法

1. 直接開方法

給定一個標準的一元二次方程，題目要求使用直接開方的解法解出方程的根，這種解法的一般步驟：如果左邊是一個數的平方的形式，右邊為一個常數，那么直接對等式兩邊進行開方，然后通過移項得出方程的解，如果左邊只含有與未知數有關的項，右邊只含有常數項，那么需要先對左邊的項進行配方，其實比較麻煩的是配方的過程，因為題目要求使用開方的辦法所以也只能這樣做，配方是左右兩邊同時加上或者減少一個常數，使得左邊的等式可以配成一個平方的形式，后面的步驟同上。

2. 公式法

使用公式法解一元二次方程的第一步試求b2-4ac的值，如果該值小于0，那說明該方程沒有實數根，不用求;如果該值等于0，說明方程有兩個相同的根，即求其中一個根即可;如果該值大于0，說明該方程的根有兩個而且兩個的數值不相同，所以兩個都需要求出。將方程化為一元二次方程的一般形式，將右邊的常數項移到左邊然后對應一元二次方程的一般形式分別找出a，b，

c。然后根據x=-b±b2-4ac2a，分別將a，b，c的值帶入并解得x的值。

3. 因式分解法

因式分解是解數學方程的一個重要方法，不僅適用于一元二次方程，還適用于比如二次函數，特殊的反比例函數等，分解因式中包含了很多數學思想，比如說整體轉化思想，對比思想，數形結合思想還有分類思想，其中轉化思想所表達的是將較為復雜的問題轉化為簡單學生易于理解的方法。一般如果題目要求使用因式分解法解題會給出等式左邊兩個一元一次方程的形式，右邊為一個常數，比如（x+3）（x-6）=-8這種形式，第一步將方程轉化為左邊為一個一元二次三項式，右邊為0，然后將左邊分解因式，右邊不變為0，然后令左邊的兩個式子分別為0，得到的兩個x的值即為方程的兩個根。

4. 配方法

將式子的一部分通過變化化為完全平方式的方法，其重要思想是尋找隱含條件，這個思想也是解題的重要手段。配方法把題目給出的多項式化為a，b，c為系數的一般形式，就像一元二次方程的一般形式。與上面的方法的不同之處在于該方法需要將等式左邊的常數項移到右邊，然后根據左邊的系數的大小，同時在左右兩邊要么加一個數要么減一個數，使得左邊能配成一個完全平方公式的形式。然后變化為用分解因式解決問題。

學生在做題的過程中要注意題目要求，有些題目規定一定要使用某種特定方法解題，雖然用另外的方法會更簡單一些，但是如果遇到比較嚴格的教師的時候可能只能得到一個正確答案的分數，所以，首先要做的是認真審題。

5. 解應用題的一般步驟

第一步：找到題目的已知量，一般先把它寫在題目的旁邊，這叫做把重要信息提取出來，還要找到未知量，用字母表示未知量，一般情況下我們都設未知量為x。

第二步：找到能概述該題已知與未知量的含義的相等關系。

第三步：根據第二步找到的那個對等關系列舉方程，然后簡化方程即化簡，使得等式右邊為0。

第四步：解方程，求x的值。

第五步：檢查。檢查所求是否符合題目要求，如果不符合則需要舍棄，因為有的時候一元二次方程有兩個不同的實數根。最后進行題目的答過程。

三、 經典的題型與方法歸納

（一）數字問題

一般數目關系問題：一般數目關系問題不太復雜，就是需要學生掌握簡單基本的運算，比如加、減、乘、除、和、差、積、商、大小、倍數等，也就是數學中所說的運算律以及運算順序，然后根據題意列舉方程，題目會給出相應的參數，根據參數列舉方程。

（二）利潤問題

例題如下：

某批發商以每件50元的價格購進800件T恤。第一個月以單價80元銷售，售出了200件;第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，商場為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格;第二個月結束后，批發商將對剩余的T恤一性清倉，清倉時單價為40元。設第二個月單價降低x元。如果商場希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？

解析：根據題意可以得出幾個參數之間的關系，第一個月的單價為80元，銷售量為200件，開始清倉時的單價為40，根據描述可以確定第二個月的單價為（80-x）元，銷售量為（200+10x）件，而清倉時銷售量為（800-200-（200+10x））件。

解：根據以上的分析，可以得到方程80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）]-50×800=9000

通過整理，解得x2-20x+100=0，解方程的x1=x2=10，當x=10時，80-x=70>50

答：所以第二個月的單價應是70元。

四、 總結

該類問題也可以用二元一次方程求得，轉化為求x與y之間的關系，求最值，方法有很多，但是題目給出了未知數x，表明要求使用一元二次方程求解，求解過程中需要根據第一個月題目所給出的參數和題目的變更途徑找到x與已知的各參數之間的關系，即得到第二個月的單價與銷售量，得到第二個月的參數后還需要找到題目的問題，然后聯系起各參數建立一個等式即上面的等式，最后化簡求得第二個月的單價。

（一）增長率問題

例題如下：

市第四中學初三年級初一開學時就參加課程改革試驗，重視學生能力培養。初一階段就有48人在市級以上各項活動中得獎，之后逐年增加，到三年級結束共有183人次在市級以上得獎.求這兩年中得獎人次的平均年增長率。

解：183=48+48（1+x）+48（1+x）2解得x=-13/4（舍）或1/4，平均年增長率=25%。

（二）幾何面積問題（化零為整）

舉例如下：

如圖1所示，某小區規劃在一個長為40m，寬為26m的矩矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草，若使每一塊草坪的面積都是144m2，則道路的寬是多少米？

分析：

將圖1所示中的三條道路分別向上和向左、向右平移圖2的位置，若設寬為xm，則草坪的總面積為（40-2x）（26-x）m2所列方程為（40-2x）（26-x）=144×6;

解法：設道路的寬為xm，則根據題意，得（40-2x）（26-x）=144×6解得x1=44（舍去），x2=2。

參考文獻：

[1]趙慧敏.一元二次方程的重要題型和解題辦法[C]∥北京中外軟信息技術研究院.第四屆世紀之星創新教育論壇論文集.北京中外軟信息技術研究院：北京中外軟信息技術研究院，2016：459.

[2]陳德前.一元二次方程應用題常見題型分析[J].初中數學教與學，2013（5）：6-7.

[3]劉國毅.關于一元二次方程根與系數的關系的題型研究[C]∥新世界中國教育發展論壇第二卷.：中國教育教學叢書編委會，2007：607-608.

作者簡介：虎永泊，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅省和政縣第五中學。