掌握學科基本結構對提高數學學習效率的意義

布魯納認為：“不論我們教什么學科，務必使學生理解（掌握）該學科的基本結構?！彼^基本結構，包括該學科的知識結構、學習態度和學習方法。他還認為：“學習結構，就是學習事物是怎樣相互關聯的?！笨梢姡慕Y構說包含事物之間的相互聯系和規律性，具有“普遍而強有力的適用性”。重視學科的基本結構，懂得了基本原理，能使學科知識變得更容易理解。這樣，也有助于學生對學習內容的記憶與理解，有助于增進學習中的遷移，有助于激發學習動機或學習興趣，從而提高數學學習的效率。

一、掌握知識結構，突顯知識本質

現行的大部分數學教材中常將學科結構進行拆解和重編，讓學生一點一點地學習數學，不斷循環， 螺旋上升。而作為數學教師，要還原數學本來的結構，讓學生看到或觸摸到數學知識核心的完整樣子，使其感悟到隱藏于知識背后的數學思想。

（一）知識體系結構

菲利克斯·克萊因說：“基礎數學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單;一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程，以及數學教育演化的經過。”由此類推，小學數學教師應該了解初等數學的體系和結構，要了解初等數學史。只有這樣，才能更好地把握教學內容，給學生良好的數學教育。

如“分數”是小學數學教學中的一個重要內容。何為分數？分數產生于實際測量與均分。在數學史中，由于分數意義的抽象及分數的表達方式的繁瑣，使得分數的發展陷于僵局。直至將分數與除法聯系了起來，發現了“在除法中，為了使除法運算總可以施行，可以用分數表示除法的商”之后，分數才被更多的人所接受，分數的意義也才有了不同的定義，分數的內涵實質也才有了較大的拓展。分數被定義為是“正整數p除以正整數q的商”，并作了補充定義：當 q=1時，[pq]=p;當 p=0 時，[pq]=0。

關于分數，著名數學教育家張奠宙先生還給出了四種定義。

份數定義：分數表示把一個單位平均分成若干份之后表示其中一份或幾份的數。

商的定義：分數是兩個整數相除（除數不為0）的商。

比的定義：分數是整數q與整數p（p≠0）之比。

公理定義：有序的整數對（p，q），其中p≠0。

解讀分數發生發展的歷史，有利于我們把握分數的知識本質。雖然現行的教材編排有所不同，但他們都還原了分數的發展歷史，即先從測量或均分開始，初步感知分數的意義，再通過分數與除法的關系比較拓展分數的意義。這樣的編排，既符合學生的認識規律，又利于學生把握分數意義的內涵實質。

（二）教材編排結構

任何教學方式、方法的創新，都離不開教師對本學科教學內容實質的理解和把握，離不開對學生數學學習規律的了解和尊重。只有科學、準確、深入地理解教材，才能用好教材，才能做到因材施教。

教材在編寫“分數的初步認識”這部分內容時有兩條線，第一條線就是對“1”的理解。三年級上冊 “分數”這一章，在教學概念時，教材中感知的是把單個物體看做一個具體形象的整體，把這個具象整體平均分成幾份，每份是這個具象整體的幾分之一。所以單個物體實體就是一個具象整體概念“1”。

三年級下冊“分數的初步認識”則是把多個物質實體看做一個抽象的整體，所以多個物質實體的集合就是一個抽象整體概念“1”，顯性呈現就是由1個蘋果到1筐蘋果的單位“由個到筐”。由原來單個的具象整體到多個物質實體集合的抽象整體，是學生認識分數的一次質的飛躍。因此，我們要引導學生認真復習三年級下冊的“一個整體平均分”，處理好“個數”與“份數”的區別。在此基礎上揭示，把一個物體、一個計量單位、一些物體組成的整體都可以用自然數“1”來表示，這就是單位“1”。得到單位“1”之后，還要引導學生與自然數1進行比較，以突出單位“1”的意義。

第二條線就是對關系的理解。教材從三年級開始一直到五年級上冊的前面部分，更多的是理解部分與整體之間的關系。就是學生所理解的均分的定義，即把一個整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數。學習完分數與除法之間的關系后，分數更多的是表示兩個量之間的關系，這就不僅是部分與整體之間的關系，也表示兩個相關聯的量之間的關系，更可以表示整體與部分之間的關系，就出現了假分數。再到六年級上冊學習“比”時，溝通了分數與比之間的關系。這樣，既尊重了學生的學習能力，又突出了分數的知識本質。

整體理解教材的編排結構，在教學“分數的初步認識”時，我們就會有不一樣的認識，就不會一味地強調“平均分成若干份，取這樣的一份或幾份”了。由此可以看出，教材的編排注重知識之間的聯系，通過“橫向遷移”與“縱向深入”，不斷推動學生深入對相關數學知識、思想方法、活動經驗的體驗。

（三）數學思想結構

在理解教材編排結構的基礎上，還要進一步讀懂教材，理解教材知識的呈現方式，把握其中所內含的數學思想方法。相關數學知識的認識背景、學生認知方式、內化途徑等決定著教材知識呈現的方式。反過來說，只有理解了編排方式，讀懂了其中內含的數學思想方法，才能更好地去教學。

如五年級上冊“平行四邊形的面積計算”，其在進行公式的推導時，教材安排了三個例題。

這三個例題之間有著怎樣的邏輯關系呢？怎樣引領學生的思維，讓他們能夠通過對平行四邊形面積公式的推導學習，掌握一般平面圖形的面積計算公式的推導方法呢？這是我們在解讀教學內容時需要思考的問題。研讀教材，會發現其中蘊含這樣的思考探究過程：例1是通過轉化前后的面積是否相等，告訴學生圖形的轉化要以面積相等為基礎;同時，也正是由于面積相等，所以才能通過轉化來推導圖形的面積計算公式，這是面積公式推導的基石。例2是直接提出問題“你能把右邊的平行四邊形轉化成長方形嗎？”這讓很多教師感到困惑，這樣不是會減少學生圖形轉化的靈活性嗎？其實不然，有向轉化，正是面積計算公式推導的思維基礎。要求推導平行四邊形的面積計算公式，那就必須轉化為學過的長方形。因此，就要以長方形的特征為思維基礎，進行有向轉化，只有概括長方形的特征，才能得出“沿高剪”的正確結論，也為以后面積計算公式推導提供思維路徑。例3則是通過教材第115頁提供的各種形式的平行四邊形，讓學生從中任意挑選，并提供表格讓學生交流、比較，意在讓學生明確這樣的關系比較普遍。最后，通過與長方形進行對比和簡單演繹推理過程，得出平行四邊形面積計算公式。這樣就是從等積變形（轉化后與轉化前面積相等）→有向轉化（沿高剪開轉化成已學過面積公式圖形）→更多舉例（經歷數學歸納過程）→公式表達（由圖形各要素關系導出計算公式）的過程。

正是這三個例題中蘊含的四個思考過程，把平面圖形面積計算公式推導的思維路徑展開得科學合理。教學時要把這樣的展開邏輯讓學生充分經歷、體驗和感悟，形成思維結構，便于學生在今后的平面圖形面積計算公式乃至立體圖形體積計算公式等推導的學習過程中，自覺運用，形成正向遷移。

二、優化認知結構，提高教學效率

布魯納認為：“學生的學習過程是學生原有認知結構中的有關知識和新學習內容相互作用（同化），形成新的認知結構的過程。”同化和順應是學生認知結構發生變化的兩種途徑和方式 ，知識之間的關系是多向的，有并列、遞進、從屬等關系。學生對新內容的理解與存儲需要進行類比遷移與內化，需要讓新舊內容產生意義聯接，在同化、順應中形成更為完善的認知結構。

（一）教學推進結構

建構原理指出：“學生開始學習一個數學概念、原理或法則時，要以最合適的方法建構其代表?！泵恳粋€知識點的教學都要依據知識的結構和學生的認知結構，選擇有效的教學方式，采取有效的推進結構，是演繹還是歸納，每一個知識內容的教學都有自己的展開邏輯與推進結構。如在教學“三角形的內角和”時，我們就可以按如下四步逐漸推進。

1.計算比較，提出猜想

學生分別計算兩只三角板的內角和，發現兩只三角板的內角和都是180度。從而引發猜想：所有三角形的內角和都是180度嗎？

2.多元驗證，豐富體驗

首先是分類列舉，集中研究。根據三角形的分類，從直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形中各選一個，提供給學生共同研究。學生自主選擇用量一量、算一算;撕一撕、拼一拼;折一折、拼一拼的方法去驗證三角形的內角和。他們會發現，量出的三個內角的和都在180度左右;把三角形的三個角切下來，拼到了一起，正好是一個平角;采用折的方法，把三個角折到一起，也正好是一個平角。其次是更多舉例，尋找反例。教師先介紹兩個工具小軟件，一個是蘋果電腦中的APP“圖形活動”，另一個是我們自主開發的小軟件，稱之為“活動三角形”，就是一個三角形，旁邊顯示出三個內角的度數，并用算式計算出內角和。學生任意拖到了一個點，或者一條邊，就會得到若干個新的三角形。接著，讓學生自主選擇方法進一步舉例驗證，方法主要有三個，一是教師提供的一些三角形紙片，二是利用“圖形活動”畫三角形驗證，三是利用“活動三角形”拖動頂點或邊，觀察三角形的內角和。學生交流體會時會發現，在“圖形活動”中，任意畫出的三角形，切出的三角都可以拼成一個平角;拖動“活動三角形”時，三角形的形狀在變，三個內角的度數也在變，但是三角形的內角和都是180度。沒能找到內角和不是180度的三角形。最后是了解經典，豐富認識。學生自主觀察小帕斯卡的驗證方法，看完后與同桌交流。一個長方形的內角和是360度，平均分成兩個直角三角形，每個直角三角形的內角和是180度。任意一個銳角三角形或者鈍角三角形都可以沿著高分成兩個直角三角形，每個直角三角形的內角和是180度，兩個直角三角形的內角和是360度，去掉拼成一條邊的兩個直角的度數，原來三個角的度數和是180度。

3.介紹證明，得出結論

教師介紹關于三角形的內角和等于180度，還有更多的驗證方法。數學是一門嚴謹的科學，僅靠驗證是不行的，數學家們還進行了嚴格的證明，最后得出結論：三角形的內角和等于180度。

4.回顧研究，交流體會

教師借助學生的研究成果，以圖片的形式，領著學生一起回顧研究過程，啟發學生思考：前面的研究過程中，你印象最深刻的是什么？有什么體會？

（二）習題編排結構

比較和變式原理指出：“從具體形式到抽象形式的過渡，需要比較和變式，比較是幫助學生直觀地學習數學概念、提高其抽象水平最有用的方式之一?！比魏沃R的學習，能力的養成，必須有一定量的練習。做怎樣的習題，習題如何呈現，這里也存在一定的結構。教學中，我們要根據知識的本質，將相關習題以題組的形式呈現，讓學生在比較中突出知識本質，在辨別中掌握方法，掌握解題的一般步驟。

在學習完“求一個數是另一個數的百分之幾”后，可以提供如下一組練習：

學校體育室有50只足球，有40只排球。排球的只數是足球的百分之幾？

學校體育室有50只足球，排球比足球少10只。排球的只數是足球的百分之幾？

學校體育室有40只排球，足球比排球多10只。排球的只數是足球的百分之幾？

學校體育室有40只排球，足球比排球多[14]。排球的只數是足球的百分之幾？

這組練習中，不管題目如何變化，最終都是用排球的只數除以足球的只數。如果當中某個數量沒有直接告訴我們，則需要根據給出的條件先表示出某個數量，最終形成結構：“求一個數是另一個數的百分之幾”與之前學習的“求一個數是另一個數的幾分之幾”是一樣的，都是用一個數除以另一個數。就這樣形成了解題的思維結構。當然，有些題目也有一些特殊的方法，如第4個題目，就有不同的方法。但是，盡管有不同的方法，上述這種方法才是最本質的方法。

（三）知識儲存結構

關聯原理提出：“應當把各種概念、原理聯系在一起，在一個統一的系統中學習。”要使學習卓有成效，就必須說明和理解數學概念之間的聯系。如果學習的一個新知識，能夠納入學生已經有的認識結構中去，學生就能輕松理解和記憶，就能理解知識之間的本質，就能溝通知識之間的聯系與區別。

在學習“分數加減法”時，可以總結出異分數分數加減法的一般方法：先通分，再按同分母分數加減法的法則進行計算。引導學生回憶，我們在之前學習整數加減法、小數加減法時，一般是如何計算的。得出：計算整數加減法時，要把數的末尾對齊，從低位算起;小數加減法時，要把小數點對齊，再從低位算起。啟發學生思考：為什么計算整數加減法時，要把末尾對齊;小數加減法時要把小數點對齊;分數加減法時，卻要先通分。通過討論，交流得出：計數單位相同的數才可以直接相加減，這些做法都是為了讓計數單位相同的數對齊。

“獲得的知識，如果沒有完整的結構把它聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識?！弊⒅亟Y構的學習不是機械的學習，不是讓人很快遺忘的學習，而是有質量的學習，有發展的學習，是一種素養提升的學習 。

把握數學學科本質、遵循兒童認知規律、科學施教，促進學生數學素養發展，是數學教育的追求。讓學生感悟到結構的小學數學課堂，可以讓學生用最少的時間，把握數學的精華，豐盈思維的結構，提升數學的素養。

（責任編輯：楊強）