融合數學思想　助力思維發展

呂振華

為參加觀摩課比賽，我與同事選取了北師版《義務教育教育教科書·數學》四年級上冊“確定位置”一課進行磨課，最后確定通過從“激發沖突，引發數對必要性——抽象寫法”“明確數對簡潔性——鞏固練習”“了解數對生活化”三個環節授課。比賽時，贏得了不少掌聲。

近一年來，隨著對數學深度教學、數學思想方法、核心素養等理念的深度理解，我回顧一年前教學的“確定位置”一課時發現，學生雖然可以從生活中抽象出方格圖，達到了該教學預設的目標;但是從數學的角度來講，學生學得不夠深、不夠透。所以，我對“確定位置”一課的教學產生了新的思考并進行了新的實踐。

一、對“確定位置”教學的再思考

在思考的過程中，我通過反思，梳理出以下三個問題，并通過實踐摸索，逐漸理清了思路。

（一）課中是否可以滲透數學思想方法

數學深度教學理念指出：“數學教學必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升。”可以預見，數學深度教學的開展，可以增強學生學習數學的主動性和自覺性，豐富學生對于數學意義的理解，對于培養他們的數學核心素養和創新能力也有很大的幫助。要做到深度教學，需要教師以數學思想方法為抓手，幫助學生借助知識點的學習，在理解、抽象數對的過程中了解數形結合、一一對應的數學思想，從而使學生站在數學的角度（而不是生活的角度）去讀懂方格圖。

本課涉及兩個主要的數學思想方法，即數形結合思想和一一對應思想。在數學的發展史上，直角坐標系的出現給幾何的研究帶來了新的工具。直角坐標系與幾何圖形相結合，也就是把幾何圖形放在坐標平面上，使得幾何圖形上的每個點都可以用直角坐標系中的坐標（有序實數對）來表示，這樣就可以用代數的量化運算方法來研究圖形的性質，堪稱數形結合的完美體現。因此，學生雖然在以往的學習中已經接觸到數形結合思想，但數形結合思想在“確定位置”一課中卻是體現得最為完美的。

一一對應思想自小學生學習數學第一課起已在滲透，學生都知道一個數字對應一定的數量，數軸、點子圖、計數器等都能讓學生理解一一對應思想;但本課與學生先前學習的情況不同，本課是用一組有序的數對（不是以前的一個數）表示方格圖上一個點的位置。此時的方格是有結構的、有序的，一個點對應唯一的一組數，這也是用數對確定位置的關鍵所在。

事實上，用有序數對表示幾何學上的點，目的是數形結合，用數來表示幾何對象，包括直線和曲線。當小學生看到根據數對的某種特性，在幾何上就可以表示出許多不同的直線時，我們可以想象到其內心的震動是非常強烈的，這也正是高質量數學教學要實現的過程性目標。

一一對應思想則體現了用數對確定位置的有序性，數形結合思想化數字為圖形，讓人們借助圖形看得見數字。所以，本課中不能割裂只講一種，而是應將這兩種思想相互融合，共同促進學生思維的成長。

我認為，通過本課的教學，應當使學生明白一一對應思想不僅指一個數對應一個物體或一部分物體，同時一組數也可以對應一個點;數形結合思想不僅僅是利用數字與數軸、線段圖等幫助學生理解數與幾何圖形之間的互為表示，也是數字與幾何圖形的完美結合。

（二）“原點”這一知識點應在第幾課時出現

如圖1、圖2所示，圖1是教材第一課時從座位圖抽象出的格子圖，圖2是教材第二課時直接出示的格子圖。通過對比，我們發現圖1沒有原點（0，0），圖2有原點（0，0）。

平面直角坐標系有三個關鍵要素：原點、方向、單位。第一課時教學中對方向和單位都有滲透，唯獨缺了原點。我認為，這樣不便于使學生更清楚地理解方格圖。通過多方查找資料，我發現有一些教師在第一課時教授原點，這也給了我完善教材的勇氣。于是，我將對原點教學的理解融入了教學設計，并希望通過實踐來檢驗。

（三）學生學完本課后應有哪些新的收獲

我一年前將本課的授課目標確定為：第一，結合座位圖，理解用數對表示位置的必要性，體會數學與現實生活的密切聯系;第二，經歷數對的抽象過程，探索用數對確定位置的方法，體會數對與方格紙上的點的對應關系，能在方格紙上用數對確定位置，發展空間觀念和推理能力;第三，在經歷探索用數對確定位置的過程中，體會知識的價值，激發學生的興趣。

通過對《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標2011版”）的深度解讀，我發現“課標2011版”對“位置”教學的要求是“在具體情境中，能在方格紙上用數對（限于正整數）表示位置，知道數對與方格紙上點的對應。”“需要先在方格紙上標明正整數刻度，希望學生能夠把握數對與方格紙上點（行列或者列行）的對應關系，并且知道不同的數對之間可以進行比較。這個過程有利于學生將來直觀理解直角坐標系。”

我的解讀是，從生活中抽象出數對來確定位置是本課的一個教學目標，但更要為日后的方格直角坐標系提供認識的基礎。經過思考，我將教學目標重新設定為：結合座位圖，使學生經歷數對的抽象過程，理解用數對表示位置的必要性，探索用數對確定位置的方法。同時，在這個過程中理解用數對表示位置的簡潔性和統一性。結合方格圖，使學生發現其與數軸之間的關系，進而確定原點，使學生掌握直角坐標系雛形。結合方格圖，使學生進一步掌握一一對應和數形結合的思想方法，并能借助這兩種方法進行推理，進而解決問題。

與前一教學目標相比，重新設定的教學目標更具有數學味，更有深度。

二、對“確定位置”一課教學的再實踐

基于對教材的再度分析，我將原來的教學設計進行了修改，并應用于實踐。針對教學目標的達成和前文三個問題的實踐，我選擇其中的幾個片段加以說明。

（一）體驗經歷，在感悟中滲透數學思想

教材中共提了四個問題，其中第二個問題（如圖3）是把座位圖抽象成方格紙，把座位抽象為格點，把座位的位置抽象為數對，這是本課的重點。在解決第二個問題的過程中，我和學生共同經歷了方格圖和數對的抽象過程，體驗了一一對應思想和數形結合思想的應用，從數學思想的角度體會了用數對表示位置的必要性、簡潔性、統一性。我依次出示了圖3至圖5，并進行了如下教學。

1.確定組和排的順序

師：這是淘氣班的座位圖（圖4），請找一找淘氣坐在哪個位置上。

（學生有不同說法）

師：淘氣的位置為什么會有不同的說法？

生：因為沒有給淘氣班的座位分幾組，分幾排，所以會有不一樣的說法。

師：同意他的說法嗎？請你給淘氣班分一分小組，第一組在哪里？

生：從左邊第一列為第一組……（依次分完6組）

師：我們在數學課上規定按照從左到右的順序來分組（圖5）。

（按照分組的方法繼續分排，形成圖3左邊圖的樣子）

2.確定淘氣的位置

師：淘氣班不僅從左到右分好了組，而且從前到后分了排。規定好了組和排，我們就形成了帶有組和排的座位圖，看看座位圖你能重新說說淘氣坐在第幾組第幾排嗎？

生：第2組第4排。

師：還有不一樣的想法嗎？

生：沒有。

師：為什么這張座位圖，淘氣和笑笑的位置都只有一種說法？

生：因為座位圖里，規定了組和排的順序。

師：（小結）用序數規定了組和排的順序，同學們的位置只能有一種說法。

3.直觀感受方格圖形成過程（見圖6）

師：請看大屏幕，（課件動態顯示，見圖6）每個座位都有一個縱向和一個橫向的位置，把他們用線連接起來就形成了這樣的方格圖（6-1）。橫線和縱線會形成交叉點，而這些交叉點就是同學們的位置（6-2）。這張由橫線和縱線組成的座位圖，每一條縱線和每條橫線都對應一個數字（6-3）。

師：方格圖從左到右橫著寫的數表示什么？（第幾組）

師：序號1在最左邊，表示第一組，也就是按組分的起始組。

師：從前往后豎著寫的6個數字，表示什么？（表示6排）

師：因為第1排在最前面，所以在最下面，我們以后畫這樣的圖的時候，數字的位置也是從下向上寫。

師：看完這個動畫，你發現同學們的座位與方格圖之間的關系了嗎？

生：每個同學的座位是方格圖上橫線和縱線的交叉點。

師：在數學學習中，我們可以把每位同學看做一個點，你發現數對與方格圖之間的關系了嗎？

生：每位同學代表一個點，用一組數對表示，數對在方格圖中的位置就是同學在教室座位圖中的位置。

師：對，一組數對對應方格圖中的一個點，同樣對應座位圖中的一位同學，同學的位置、數對、方格圖中的點是一一對應的。

生：一組數對代表一個同學的位置，同學的位置可以用2個數字表示，也可以用方格圖中的點表示，說明數對和圖形是有聯系的。

師：對，數字可以化成圖形的形式來讓同學們看得更清楚，圖形也可以化成數字的形式來讓我們更便于統計。

學生通過上面三個環節自然地由淺入深，由生活抽象到數學的層面，由單一的數學知識引申到深層次的數學思想方法的領悟，真正成為了學習的主人。

（二）以疑促解，在對比中滲透數學思想

學生在認識方格圖之前對數軸有著豐富的體驗，數軸和方格圖相比，是一維和二維的關系。經過思考，我充分發揮學生的主動性，讓學生發現方格圖與數軸之間的關系，發現確定原點的必要性，從而在學生腦海中形成了直角坐標系的雛形。

首先，我出示圖1和圖7（數軸），請學生觀察方格圖和數軸，“你能想到什么問題？”學生回答：“二者有什么關系？有什么相同點？不同點？”我把問題一一記錄，要求學生自己認真觀察，然后進行組內交流，最終形成統一的思路：數軸只有一行，可以用一個數表示一個點，將兩根數軸互相垂直，畫出格子線，就會形成格子圖。之后，我引導學生：兩根數軸相交的點是0，這個0既是橫軸的起點，也是縱軸的起點，所以也是方格圖的起點。依據數對的表示方法，我們把方格圖的起點定為（0，0），這個點也叫原點。

這一教學片段中，學生自己提出問題，自己解決問題，最終形成了圖8，即平面直角坐標系的雛形。這一圖看似只是增加了一個原點，但前后方格圖在學生心中的意義是不一樣的，沒有0的方格圖只是座位圖的抽象圖，有原點的方格圖具備了平面直角坐標系所有的特征，它是高于生活的。

（三）直觀聯想，在習題中滲透數學思想

在變式習題的設計中，我結合數學思想設計了一道習題：

有五個點，分別是A（2，2）、B（2，6），C（3，7）、D（5，7）、E（5，5），現將這些數對所表示的點描出來，再把對應的字母的數對標注在旁邊，依次連線。然后，將數對中的兩個數交換位置，形成新的數對，分別是A（2，2）、B'（6，2），C'（7，3）、D'（7，5）、E（5，5）。最后，畫圖，回答問題：

（1）所有點連線后形成了（）形？

（2）這是個（）圖形？

（3）對稱軸在哪里？

（4）對稱軸的兩邊的點有什么特點？

（5）兩組數對有什么特點？

學生將所有點連線后會發現，圖形是一個心形。這是學生可以直觀看得見的圖形，因此學生理解起數學思想來會更方便。同時，這還是一個軸對稱圖形，對稱軸是經過AE兩點的直線，對稱軸兩邊的點互為對稱，相對稱的點的數對的兩個數字前后顛倒。此題融合了一一對應思想和數形結合思想，使學生明白，一組數對對應一個點，數對中的兩個數前后位置發生變化，點的位置也會發生變化，變化后的點是對稱的，這樣能夠拓展學生的思維。

與此同時，在拓展環節，我帶領學生展開了合理聯想，使學生明白：數對來源于生活，但不僅僅應用于生活，它是人類智慧的結晶，是人類對生活現象的高度總結。

師：同學們，再來看這張方格圖（圖5），其實，方格圖不僅可以表示班級的座位圖。同學們可以想象一下，如果全校同學整齊劃一地坐在操場上，是否可以用方格圖表示。（可以）

師：因為自然數是無窮盡的，看來，這張方格圖想畫多大就可以畫多大，操場上的同學都可以用方格圖上任意一個點來表示。請同學們把你們腦中的方格圖無限擴大，用它把屏幕上的地球儀包上（課件出示地球儀），你們發現了什么？

（方格圖變成了地球儀上的經緯線，地球上任何一個點的位置都能用數對表示出來。）

師：是的，數對知識的背后是一一對應和數形結合思想的支撐。確定一個小小的教室里的座位需要一一對應和數形結合的思想，確定60億分之一的你在地球某一處的位置同樣需要一一對應和數形結合的思想，數學思想是打開數學大門的鑰匙，同學們要善于發現和運用它。

至此，一幅更大的方格圖讓學生對數對甚至是數學思想有了更深的認知，他們的數學抽象能力逐漸提高，課堂中的數學味道也越來越濃。通過這兩道題，我感受到了學生的感覺是震撼的，內心深處是有觸動的。

實踐證明，融入數學思想的課堂更利于學生思維的生長，更利于教師今后的數學教學。在教學實踐中，數學教師以此為抓手，可以和學生一起打造出精彩的課堂。

（責任編輯：楊強）