一種含有磁控憶阻器的四階混沌電路的特征分析

耿運博 鄒劍飛

摘 ?要：該文提出了一種簡單的磁控憶阻器模型，并利用它設計了一個混沌電路。通過數值模擬計算得到了一個三維帶狀混沌吸引子，且此時憶阻器的伏安特性曲線不是傳統的“8”字形。通過計算系統的相圖、分岔圖和Lyapunov指數譜，發現調節電容參數或憶阻器初始狀態可以實現電路系統在混沌態和各周期態之間的轉變，發現調節磁通能使系統出現二周期到四周期再回到二周期的奇特分岔現象。該研究工作對利用憶阻器設計混沌電路并應用于密碼通信具有積極的參考價值。

關鍵詞：憶阻器 ?混沌電路 ?Lyapunov指數

中圖分類號：TN701 ? 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）06（b）-0027-04

電阻器、電容器和電感器是電路中最基本的兩端無源電子元件。1971年，美籍華裔科學家Leon Chua（蔡少棠）教授根據電路理論的完備性在理論上預言了第四種無源電子元件——憶阻器[1]。憶阻器的特征物理量憶阻定義為穿過元件的磁通與電荷量之比。這里的磁通不一定需要是外加磁場產生的，根據法拉第電磁感應定律，它可以是元件兩端電壓對時間的積分。而流經憶阻器的電荷量是電流對時間的積分。因此，憶阻一般來說是時間的函數，它的量綱與電阻相同。因此可以說，憶阻器是具有記憶功能的電阻器。根據這一特點，人們期望發明具有實用價值的憶阻器，用于存儲信息。這樣它可以在電路斷電的情況下，記住當前信息。因此憶阻器具有誘人的應用前景。

然而直到2008年，惠普（HP）實驗室的Strukov及其合作者才在實驗上第一次用TiO2納米結構制備出了真實的憶阻器元器件[2]。在此之后憶阻器的實驗和理論研究得到了蓬勃的發展。實驗上陸續報道了更多種類憶阻器的物理實現[3，4]。Ventra和Biolek等研究人員把憶阻器的理論拓展到了其他記憶元件，如憶容器和憶感器[5，6]。此外，國內外涌現出大量各種基于憶阻器而設計的混沌電路的研究工作[7-12]。由于憶阻器的非線性特性，若把它用在電路中就很容易產生各種復雜而有趣的混沌信號。Itoh和Chua利用憶阻器代替蔡氏二極管設計了多種非線性振蕩器[7]。許碧榮用一個憶阻器、一個電感和一個電容構建了一種特別簡單的并聯混沌電路[8]。袁方等人用HP憶阻器模型設計了一個四階的混沌電路，并用等效電路實現了理論的計算結果[9]。王偉等人用3個憶阻器構造了一個六階混沌電路，得到了復雜的雙混沌吸引子[10]。利用憶阻器設計的混沌電路在神經網絡計算、保密通信方面具有潛在的應用價值。

該文設計了一種含有磁控憶阻器的四階非線性電路。通過對電路滿足的微分方程的分析和數值計算，得到了豐富的相圖、分岔圖和其他混沌的動力學特征，發現了非傳統的伏安特性曲線和奇特分岔現象。我們的研究對于利用憶阻器設計、產生和控制混沌電路系統具有積極的參考價值。

1 ?憶阻器模型和混沌電路

憶阻器可以分為磁控型和荷控型兩種。該文設計的憶阻器模型為磁控型，它的憶阻定義為：M=dφ/dq，其中φ和q分別表示通過憶阻器的磁通和電荷量。憶阻的倒數定義為憶導G=1/M。我們設計的憶阻器的憶導為：

其中，參數k1和k2為大于零的參數，它們依賴于憶阻器材料本身?？梢钥吹綉泴щS磁通大小是單調遞減的關系。磁通為零時，憶導最大（Gmax=k1+k2），憶阻最小。磁通很大時，憶導趨于最小值（Gmin=k1），憶阻達到最大值。不同于前人設計的憶導與磁通的n次方或開方關系[8，9]，該文中的憶導、憶阻和磁通的這種非線性關系簡單，沒有奇點，不發散，實驗上易于實現。

根據歐姆定律，憶阻器的電流-電壓關系可以表示為im=Gmv。再根據法拉第電磁感應定律，可得電壓和磁通的關系：v=dφ/dq。若在憶阻器兩端施加交流電壓v=vmsin（2πft），取參數vm=5V，k1=0.1kΩ-1，k1=9.9kΩ-1，畫出伏安特性曲線（如圖1（a））。從中可以看到明顯的“8”字形回滯曲線，這正是實現混沌電路所需要的特征性質。

我們設計的含有憶阻器的電路（如圖1（b））。根據基爾霍夫定律和電磁感應定律，可以寫出非線性電路滿足的微分方程組如下：

其中，v1和v2分別為電容器1和2上的電壓;i為電感線圈上的電流，它們的正方向如圖1（b）中所示。φ為憶阻器上的磁通。參數C1，C2，L，R1和R2分別為對應元件的電容、電感和電阻值。四分量變量X=（v1，v2，i，φ）構建了一個四階的非線性電路。要讓電路產生周期或混沌信號，需要有源元件。我們假設電阻R1或R2是負的，根據蔡氏電路理論，負電阻可以利用等效電路來設計實現。

令α=1/C1，β=1/C2，γ=1/L，C2=1/R2，方程組（2）（3）（4）（5）可簡化為更簡潔的形式。以后的計算中，我們取無量綱的參數，這為理論分析和數值計算提供方便。取α=3，β=1，C2=-1，k1=0.1，k2=9.9，初始狀態X0=（v10，v20，i0，φ0）=（1，0，0，0），采用四階Runge-Kutta方法對方程組（2）（3）（4）（5）進行數值計算，可以得到一個混沌吸引子。圖2展示了它在相空間的形態，演化時間區間是[500，800]。圖2（a）和（b）是混沌的二維投影圖，圖2（c）是三維空間的立體圖，它呈卷曲的帶狀，可以看到這個混沌有上下界，不會趨向穩定點，也不發散，它是一個穩定的混沌吸引子。圖2（d）做出了憶阻器在混沌電路中的伏安特性曲線，這個回滯曲線的軌跡在特定空間處劇烈變化，它不是簡單光滑的“8”字形，這與前人所得結果顯著不同。

若作電壓或電流的時域波形圖，可以看到電流和電壓貌似周期的振蕩行為，這是一種偽隨機信號，進一步說明系統處于混沌狀態。根據Jacobi方法，計算得到系統的4個Lyapunov指數LE=（0.0732，0.0023，-0.0050，-9.8793）?？梢钥吹阶畲驦E指數為正值，中間兩個指數近乎為零，第4個LE指數是絕對值較大的負值，且4個指數之和小于零，這證明了系統是混沌吸引子。

2 ?混沌系統的動力學行為分析

令dX/dt=0，由方程組（2）（3）（4）（5）可得到系統的平衡態解Xs=（0，0，0，φc），其中磁通φc是任意常數。所以系統的平衡態在四維空間不是一個穩定點，而是一條直線。把方程組（2）在平衡態附近線性化，得到Jacobi矩陣。

在取之前的參數值和初始狀態下，式（7）中系數α1=43.2，α2=-17.58，α3=29.18，△2=-556.184系統同時滿足不穩定性和耗散條件。計算Jacobi矩陣對應的四個特征值分別為λ=0.3191±1.606i，0，-29.8182其中有一對實部為正數的復數根，根據微分動力系統理論，該平衡點是不穩定的焦點。

調節電容器1的電容，即改變參數α可以實現系統在混沌態和周期態之間的轉變。設其他參數和初始狀態與前文一樣。圖3展示了α取不同值的時候，電流i和電壓v1構成的相圖，通過數閉合的極限環繞零點的圈數，可得系統分別出現單周期態、雙周期態和四周期態。計算可得這3個周期態的最大Lyapunov指數都為零。圖3（d）中i-v1相軌跡沒有形成閉合曲線，計算得它的最大Lyapunov指數為0.0815，但總的指數和小于零，因此這是混沌態。調節其他電容器、電感或電阻等參數，電路系統也能實現周期態和混沌態的轉變。

系統狀態隨參數的變化關系可以很直觀地表現在分岔圖上。設其他參數和初始條件不變，圖4（a）是變化參數α得到的分岔圖，其中縱軸是電壓v1的局部最大值。數據采集的時間區間是[800，900]。當電容較小，即參數α較大（α>4.19）時，v1大于零的局域最大值v1max有2個，系統處在單周期態。隨著電容變大，參數α變小，系統通過分岔方式依次進入雙周期態（4.19<α<3.92）、四周期態（3.92<α<

3.853）、八周期態等，最終進入混沌態。而且在混沌態之間還存在大小不一的周期窗口，例如區間1.805<α<2.188和3.178<α<3.245為單周期窗口。整個分岔圖顯示了混沌的普遍的分形特點，但單周期態有多個局域最大值則是本文中混沌的新型特征。

圖4（b）是變化參數α得到的相應Lyapunov指數譜。圖中按大小順序只畫出了3個指數LE1、LE2和LE3，第四個負的指數LE4由于太小沒有在圖中顯示?？梢钥吹剑笖底V隨參數α變化的特征與分岔圖是一致對應的。最大指數LE1大于零時對應系統處在混沌態，最大指數LE1等于零時對應系統處在周期態，無Lyapunov指數譜（α<0.86）時對應系統處在發散態。

憶阻器構成的混沌電路的另一個重要特點是系統的狀態敏感地依賴于憶阻器的初始狀態。圖5展示了其他參數同圖2中的取值，初始磁通φ變化時的分岔圖和Lyapunov指數譜。圖5（a）顯示當0.926<φ<0.993時系統總體是處在混沌區間的，當然其中也有很小的區間是周期窗口。當φ增大，系統進入周期態，φ=0.996和φ=1.006分別對應四周期態和二周期態。當φ繼續增大到大約[1，0.1，1.03]在區間內時，系統并沒有直接進入單周期態，反而重新分岔為四周期態。這與傳統的分岔過程不同，這是該文的一個新穎結果。隨著磁通φ的繼續增加，系統再回到雙周期態、單周期態，最終進入平庸的穩定狀態。圖5（b）中的Lyapunov指數譜中指數大小和變化行為也印證了分岔圖的結果。

3 ?結語

該文設計了一種簡單的憶阻器模型并基于它構造了一個混沌電路，通過選取合適的參數和初始條件，得到了帶狀混沌吸引子和多極值的周期態相圖。根據平衡點的穩定性、分岔圖和Lyapunov指數譜進一步分析了混沌電路的動力學行為特征，發現調節電容參數或憶阻器的初始狀態等可以使系統處在不同的狀態，并且調節磁通使系統的分岔出現了二周期到四周期再回到二周期的奇特現象。我們的研究對于利用憶阻器設計混沌電路并應用于密碼通訊具有積極的參考價值。

參考文獻

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