好材料，是深度學習的前提

【摘 要】要凸顯數學學科的價值，須從本質出發，選擇合適的學習材料，幫助學生進行深度學習，把零碎的知識點變成豐富的模型，繼而形成數學素養。“3·14型思維拓展學習材料”的原則、宗旨和特征，詮釋了選擇數學學習材料的基本策略。

【關鍵詞】深度學習 原汁數學 學習材料

湖北省武穴市師范附屬小學校長，數學正高級教師，華中師范大學教育碩士，教育部名師領航工程成員，提出原汁數學教學理念。湖北省第十一次黨代會黨代表，湖北省特級教師，湖北名師，湖北名師工作室主持人，湖北省第二批卓越校長培養對象，湖北省國培專家庫成員，湖北教科院、湖北師范大學兼職研究員，黃岡師范學院兼職碩士生導師，榮獲“中國好校長”“湖北省三八紅旗手”“黃岡市五一勞動獎章”等獎項。

數學到底是一個什么樣的學科？它在人的發展中承載著什么樣的光榮使命？我認為有三個核心點：解決實際問題、完善思維模式、帶來精神愉悅。這也是我們所倡導的原汁數學的教學價值觀—從本質出發，讓學習變得自信自主，有趣有效。要實現這種價值觀，必須選擇合適的學習材料，進行深度學習，把零碎的知識點變成豐富的模型，繼而形成數學素養。

那么什么樣的材料，才能引發學生深度思考，讓學生進入深度學習狀態呢？原汁數學研究團隊這些年來致力于開發“3·14”（“3”點原則，“1”個宗旨，“4”種特征）型思維拓展素材。不再只是限于教材中的例子，而是從現實生活、數學史話、趣題、魔術、游戲中去挖掘豐富多樣、富有啟迪的材料，使學生能夠運用數學的眼光與思維，去認識世界、理解世界和表達世界。

一、“3”點原則：新鮮點，貼近點，本質點

教學最重要的不是在于教師講了多少，而是在于學生學了多少。兒童注意力集中時間短，喜歡新鮮生動的、易于理解的知識，因此，我們要遵循兒童的學習特點和數學學習特征，盡量為學生選擇新鮮生動、接近其最近發展區、凸顯數學本質的材料。

【案例1】像愛迪生那樣思考（人教版六年級下冊“運用圓柱體積計算解決問題”，涂玉霞工作室陳天平老師提供）

學習材料1：腦筋急轉彎（見圖1）。倒過來看，不難發現是87（見圖2）。教師及時總結，這種“倒過來”的思考方法突破思維定式，在生活中有很大的作用。

學習材料2：求一個空啤酒瓶的容積。

核心問題1：如果讓你求出這個空啤酒瓶的容積，你有什么辦法嗎？

生1：將啤酒瓶加滿水，然后將水倒入一個量杯中，量出的水的體積就是啤酒瓶的容積。

師：真是一個不錯的方法。大家知道這個方法了嗎？他是受到了什么啟發想到這個方法的呢？

生2：愛迪生教他的助手測量燈泡的容積的方

法。（學生介紹愛迪生測量燈泡容積的方法）

師：大家說說看，愛迪生的方法巧妙在哪？

生3：把啤酒瓶的容積轉化成水的體積，水的體積可以通過量杯測量出來。

核心問題2：如果啤酒瓶里不加滿水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容積嗎？

討論：（1）這時水的體積是不是啤酒瓶的容積？

（2）你需要測量哪些數據，求出啤酒瓶的容積？

啤酒瓶的容積=（水）的體積+（瓶子倒過來后上部空出來的部分）的容積（見圖3）

核心問題3：是不是只要瓶子里有液體，無論它有多少，都能求出瓶子的容積呢？

教師通過液面不斷上升的動態演示，使學生明白當液面的高度超過瓶子的頸線位時，瓶子里的液體將變成不規則圖形，運用此方法無法求出其容積（見圖4）。

當液面不斷下降，倒過來之后液面的高度低于瓶子的頸線位時，這時空的部分仍然是不規則圖形，此方法也求不出它的容積（見圖5）。

這樣的學習材料就很有意思。

第一，以停車場的腦筋急轉彎進入，“倒過來”的思考角度為后面的學習做了很好的鋪墊。

第二，把愛迪生的轉化思想進一步深入，如果把水倒出去，用什么方法來測量？以“倒過來”的思路，把不規則的體積變成規則的體積，充分體現了轉化思想的靈活性。

第三，拋出“如果啤酒瓶里不加滿水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容積嗎？”問題后，讓學生懂得“這一部分水”是有限制條件的，只有這樣才算完整解決問題，同時也滲透了函數思想—自變量是有取值范圍的。

在傳統教學中，教師往往只給學生相關數據，把教學停留在讓學生算出啤酒瓶的容積上，好比是給學生一把鑰匙，讓他去開門，是一種機械動作。而陳天平老師提供的教學案例，是在提供富有思維含量的材料的同時，從多個角度、多個層次展開問題解決的探究，整個教學過程都需要學生調動已有的知識和經驗去解決問題，好比是給學生一串鑰匙，讓學生自己從中找到正確的那一把鑰匙去開門，這屬于一種智力活動。

二、 “1”個宗旨：思考真正發生，智慧真正生長

我們所選擇的素材一定不會是嘩眾取寵，追求另類，而是讓學生在這種思維碰撞中，獲得乍現的靈光，全神貫注地投入學習中。

【案例2】撕紙也能計算（人教版六年級上冊“分數加減法”，涂玉霞工作室周琴老師提供）

師：你能夠在10秒內算出這個列式的結果嗎？。（時間到，學生們都沒有算出來。教師公布自己的口算答案，學生們羨慕）

師：如何挑戰不可能？這里面肯定有奧秘。我們一起來玩個游戲吧。請小明同學來當我的小助手。（拿出一張A4紙）這是一張紙，平均分成兩份，每份就是，給小明，我留下;再把我的平均分成兩份，每份就是，小明拿，我拿;又把我的平均分成兩份，其中給了小明，我留……一直這樣分下去，分8次后，我手上還剩多少？小明手上有多少？小明手上有，老師手上有。原來一張紙就是一個1，分完之后，老師有，小明有多少？

學生們覺得特別驚奇，感嘆“真簡單！”。

師：那我們就來繼續玩游戲：。能不能用剛才的方法，計算出來？（三個同學為一組，共同操作演示。很多同學因為受上面計算題的影響，把紙平均分成了兩份，后來發現不對，改分成3份）

教師請學生上臺演示：把一張紙平均分成3份，給小麗和小方每人都是，繼續分下去，分了6次后，小麗有，小方有，我有，原來一張紙就是一個1，分完之后，我有，小麗有多少？

教師繼續提問：如果不撕紙，我們還有沒有其他簡單的方法把它計算出來？

教師繼續拋出問題：這種方法與撕紙有什么聯系？（學生討論）

是不是覺得很“燒腦”？看似非常復雜的計算題，卻通過撕紙這樣的方法，讓它變得異常簡單。它把一個個抽象的數變成了具象的小紙條，使計算過程看得見，算法理得清。教師又通過解法欣賞，進一步幫助學生打開了思路。選擇合適的學習材料再加上獨到的教學指導，使枯燥的計算也有了思考的深度和思想的厚度。

教學中，我們把握三個要領：第一，選擇的材料難度應該略高于學生的現有水平，使學生愿意嘗試;第二，要有普遍性和典型性，能夠反映一般特征;第三，要能擴展開來，可以舉一反三。

三、“4”種特征：聯結性，發展性，挑戰性，開放性

深度學習有五個層級（見圖6），第一個層級沒有發生學習，第二和第三層都是淺層學習。拿第三個層級來說，這樣的學習就好比我們認識一個人，知道他的名字、長相和工作單位，但我們并不了解他，我們需要結合他的性格特征和工作經歷來認識他，讓學習達到第四級和第五級的水平，這就是深度學習。深度學習的材料只有盡可能實現聯結性、發展性、挑戰性、開放性，才能夠建立整體結構。

【案例3】眼見為“實”嗎？（人教版小學數學四年級上冊“平行與垂直”）

師：看看下面帶箭頭的兩條線段，猜猜哪條更長？（見圖7）（學生們認為上面那條線段長，請一位學生上去量一量，結果是一樣長！學生們感到很吃驚）

師：這就是有名的“繆勒萊耶錯覺”，也叫箭形錯覺。一條線段兩端加上向外的兩條斜線，另一條線段兩端加上向內的兩條斜線，則前者要顯得比后者長得多。再看看下面圖形的兩條橫線是平行的嗎？（見圖8）（因為有前面學習材料的影響，學生雖然覺得它們不平行，但是，大部分同學會說平行）

師：這是你們真實的看法嗎？（學生擺擺頭，有學生說它們看上去中間鼓起來了） 到底是不是平行的，你們有什么辦法來驗證一下？（全體學生在學習單上動手操作）

生1：我在兩條線之間畫了兩條垂線，距離相等，所以是平行的。

生2：我拿一個直角三角板，一條直角邊跟下面一條直線重合，發現這兩條線跟它之間都是90度 ……

師：這些都是驗證直線是否平行的好方法，因為平行線間的距離處處相等。你們再看看，下面這些直線是否互相平行？能否用剛才的方法來驗證一下？（見圖9）

師：大家是不是覺得不可思議，這叫作黑林錯覺，那些錯亂的豎黑條干擾了我們的視覺，產生知覺誤區。這兩個例子，給了我們怎樣的啟示？（眼見不一定為實！紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行……）

這個學習材料，首先，它是具有聯結性的。一般教學中，教師只是出示很多組線段，讓學生反復去辨別是不是平行線，然后教師問“為什么是平行線”，這缺乏知識運用的現實價值。而原汁數學的學習，注重知識的融合和價值觀的融合，如運用垂直來判斷平行關系，通過錯覺圖例引發學生思考，培養正確判斷事物的科學態度。其次，它具有發展性。從判斷兩條直線是否平行到判斷眾多條直線是否平行，更需要方法的巧妙運用，這對學生深層次理解平行很有好處。同時，它也是富有挑戰性和開發性的。在矛盾沖突中，學生的好奇心和利用數學知識去解決問題的迫切愿望得以激發，學生獲得了“跳一跳就可以摘到桃子”的愉悅感和成就感。

【案例4】你相信算命嗎？（人教版六年級下冊“抽屜原理”）

師：猜想一下，咱們武穴市有83萬人，有沒有人會在同一天出生？

生齊：肯定有！

師：那至少會有多少人在同一天出生呢？（學生思考，借助計算題解答）

師：這是屬于哪類問題？

生1：抽屜原理。一年最多366天，按照最不利原則，我們假設有366個抽屜。830000÷366=2267（人）……278（人）。每個抽屜里裝2267個人，還有278人，那么也就是說至少有2268人在同一天出生。

師：再進一步思考，至少有多少人會在同一時出生呢？

生2：一天24個小時，相當于24個抽屜。2268÷24=94（人）……12（人）。至少有95人在同月同日同時出生。

師：武穴至少有95人在同月同日同時出生，那么他們的命運和性格應該是相同的，對不對？

生3：我覺得不大可能。

師：但是我們常常看到一些心理測試，還有一些星座算命，都說只要知道生日或出生的時辰，就能夠算出他的性格和命運。而且，還有很多人說，算得特別準。這是什么原因？其實并不是因為算得準確，而是因為我們常常更傾向于相信一些籠統而普遍的人格描述。這些特點的描述既空洞又模糊，但是人們很容易接受這些描述，這也就是心理學上說的福勒效應。

延伸練習：人類的頭發依種族和發色的不同，數量也略有差異。黃種人約有10萬根;長有金色頭發的白種人頭發較細，約有12萬根;紅色頭發略粗，有8萬～9萬根。83萬的武穴人中至少有多少人的頭發根數一樣多？

這組學習材料的特點在于，能夠結合生活中的現實問題，讓學生運用抽屜原理來加以解決，有實際價值。同時，以數據來破解迷信，幫助學生樹立正確的世界觀，體現了“大數學觀”。

好的學習材料正如一首好詩，總能觸及人的心靈，讓人進行類比聯想。正如這首小詩所寫，我忘記了作者是誰，不過詩的內容我卻是一句也忘不了。

數學的味道和巧克力的味道一樣

甜中帶點苦

苦中帶點甜

只有細心品味的人 ?才能知道 ?它真正的滋味

學數學的意義 ?不在于它的用處

而在于你忘我的投入

重點不是 ?花多少時間做數學

而是你花多少時間讓自己

變得喜歡做數學

參考文獻

[1] 約翰 B.彼格斯，凱文 F.科利斯.學習質量評價：SOLO分類理論（可觀察的學習成果結構） [M]. 高凌飆，張洪巖，譯. 北京：人民教育出版社，2010：78.

責任編輯：孫昕

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