多階段基礎設施項目價值分析：基于牛市看漲期權價差理論

摘要：指出了基礎設施項目投資成本大，需求不確定性高，多階段投資是適應不確定性的有效措施。在隨機需求下，利用最優多停時理論模擬多階段項目的最優投資時機決策。通過求解模型發現，在較高需求下，項目價值隨需求波動率的上升而下降，這與一般投資結論不同。從項目容量約束出發，利用牛市看漲期權價差理論解釋了項目價值隨需求波動率變化的原因。研究結果可以為多階段項目的投資提供理論支撐。

關鍵詞：基礎設施;多階段投資;投資時機;項目價值;容量限制;牛市看漲期權價差

中圖分類號：F830 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9944（2020）04-0214-04

1 引言

基礎設施項目投資成本大，需求不確定性高。適應這些特征的一個有效措施是多階段投資，即開始先建設較小容量的項目，隨著需求的增大后期進行容量擴建。多階段投資項目在發電、污水處理等項目均有廣泛應用[1～3]。

多階段項目的一個優點是投資具有靈活性，即投資者能夠根據市場的變化調整投資策略。靈活的投資策略包含投資時間、容量、放棄權利等[4]。目前多階段投資決策文獻主要研究擴建容量或放棄權決策及其對項目價值的影響[2，5];很少文獻基于利潤最大化原則，研究多階段最優投資時機決策。

本文在需求不確定下，研究有限時間段內多階段項目最優投資時機決策問題。首先，利用最優多停時理論建立多階段投資時機決策模型。然后，通過數值求解，分析項目價值隨需求波動變化情況，結果發現：在需求較高情況下，項目價值隨需求波動增大而增大。最后，通過牛市看漲期權價差理論解釋價值隨需求波動變化的原因。

2 模型建立

在[0，T]時間內分N期投資基礎設施項目。項目面臨不確定性需求，對t∈[0，T]，s∈（t，T），s時刻的隨

式（1）中x是時刻t的需求量，B_s是標準布朗運動，α，σ分別表示需求量的預期增長率和波動率。

設第i（i=1，2，"""，N）期項目的容量為m_i。如果t時刻投資建設第i期項目，建設期為u，則運營期從t+u開始。在項目運營期間，第i期項目運營負荷假定為前期項目滿負荷運營后剩余的需求量分配給第i期項目，則時刻第i期項目的運營量Ω_i（s，X_s）為：在自身容量限制下，當前需求量X_s與前期項目運營總量的差，即：

設項目產品價格為p，單位產量的運營成本為c，則第i期項目的現金流f_i（s，X_s）為：

那么t時刻投資的第i期項目的預期收益u_i（x）為：

這里E^t，x[·]表示t時刻需求量為x時的條件期望，即E^t，x[·]=E[·|X_t=x]，ρ為貼現率。

項目的建設成本與項目容量有關，假設第i期項目的建設成本K_i為[6]：

K_i=λm_i^β，

3 理論分析與數值算法

3.1 收益分析

投資的預期收益u;（x）依賴于投資后的需求，根據動態規劃原理和Ito公式可得如下定理1。

3.2 數值求解

4 數值算例

計劃10年內分三階段建設一發電廠，所有模型參數見表1。

圖1是需求波動率對項目價值的影響，結果表明：當初始需求比較低時，項目價值隨需求波動率增大而增大;當初始需求較高時，項目價值隨波動率的增大而減小，這與經典的投資結論不同[11]。這需要從項目容量解釋，本文每個階段的項目容量有限制，導致收益有上限，而以文獻[11]為代表的投資問題都假設項目收益沒有上限。在初始需求較低時，由于后期需求很難達到項目最大容量，即收益很難達到上限，故項目價值隨波動增大而增大，與一般投資的結論一致;在初始需求較高時，容量限制的影響就顯現出來了。

5 基于牛市看漲期權價差分析

從（12）式看出項目現金流相當于牛市看漲期權價差的收益。

牛市看漲期權價差是指投資者在買進一個敲定價格較低（相當于本文的M_i-1）的看漲期權的同時，又賣出一個標的物相同、到期日也相同，但敲定價較高（相當于本文的從）的看漲期權。相對于單一的看漲期權，看漲期權價差能夠減低標的價格較低時的風險，但同時也會在標的價格較高時損失潛在收益;也就是牛市看漲期權價值能夠在標的價格變化比較溫和的情況下獲益。

為了理解本文項目價值隨需求波動的影響，我們探討牛市看漲期權價差的‘Vega。歐式看漲期權價差的Vega的閉形式解羚一的表達式為：出結論：當需求比較低時，項目價值隨波動增大而增大;當需求比較高時，項目價值隨波動增大而減小。

6 結語

在隨機需求下，本文建立了多階段項目最優投資時機決策模型。通過求解模型發現，在需求較高時，項目價值隨需求波動增大而降低，本文用牛市看漲期權價差理論解釋了這一現象。

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收稿日期：2020-02-16

基金項目：天津市教委科研計劃項目（編號，2017SK076）

作者簡介：李景煥（1980-），女，副教授，博士，研究方向為項目管理和金融工程。