兩道一類不等式題的教學(xué)所引發(fā)的思考

葉德武

摘要：創(chuàng)新思維的核心思想是聯(lián)想和想象，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，對(duì)某些結(jié)論的拓寬和推廣是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維素質(zhì)中聯(lián)想和想象的最有效方法之一。

關(guān)鍵詞：主體;不等式;換元法;公式法;構(gòu)造法

教學(xué)過程，是教與學(xué)的統(tǒng)一過程，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，而學(xué)生的學(xué)習(xí)又是在老師組織引導(dǎo)下進(jìn)行的，因此教是外因。我們知道內(nèi)因是依據(jù)，外因是條件。外因必須通過內(nèi)因才能起作用。因此，正確處理教與學(xué)的關(guān)系，是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

課堂教學(xué)中，教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用主要體現(xiàn)在教師如何通過自己的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和積極性，如何去引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去觀察、思考、聯(lián)想、探索，通過他們自己的努力去獲取知識(shí)，使他們不但學(xué)會(huì)知識(shí)，而且懂得如何去學(xué)，這是發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生主體地位的根本所在。

文章就兩道一類不等式的解題教學(xué)來展示和記述在上述理念指導(dǎo)下如何提高學(xué)生思維能力和改進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)。不等式的證明和求解，在高中課程占了很大比例，尤其是將各個(gè)章節(jié)知識(shí)的串聯(lián)、并聯(lián)，結(jié)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)起到了很大作用，又能充分訓(xùn)練學(xué)生的思維。

一、 問題教學(xué)

問題1：已知a>0，b>0且a+b=1，求證：2a+1+2b+1≤22。

問題2：已知a>0，b>0，c>0且a+b+c=1，求證：3a+1+3b+1+3c+1≤32。

T：對(duì)于問題1來說，兩式2a+1、2b+1之和小于或等于22，那么又如何利用a+b=1？

S：那，可不可以看成一個(gè)整體，不妨設(shè)2a+1+2b+1=k。

T：那如何各自表示2a+1、2b+1單個(gè)主體？

S：可用近期剛講過的均值換元。

T：可以呀，在均值12k的基礎(chǔ)上再加減一個(gè)數(shù)，注意兩式之和為k。

（一）換元法

1. 設(shè)2a+1+2b+1=k，2a+1=12k+t2，2b+1=12k+t2，則t1+t2=0，則有2a+1+2b+1=12k+t12+12k+t22=12k2+t21+t22≥12k2。

又因?yàn)閍+b=1，所以4≥12k2，即k≤22，故2a+1+2b+1≤22。

T：問題2與問題1之間有何聯(lián)系？

S：類似噢，同樣可令3a+1+3b+1+3c+1=k，這樣每一個(gè)表達(dá)式為13k基礎(chǔ)上再加減一個(gè)數(shù)。

T：很好！

2. 設(shè)3a+1+3b+1+3c+1=k，3a+1=13k+t1，3b+1=13k+t2，3c+1=13k+t3，且t1+t2+t3=0，以后證法與上面相同，故略。

T：我們再回到常見的幾個(gè)不等式之間關(guān)系：ab≤a+b2≤a2+b22，a≥0，b≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”，題目中出現(xiàn)了2a+1、2b+1，自然想到上式的后一個(gè)不等式，即a+b≤2（a2+b2），大家想一下如何用公式法？

S：把2a+1、2b+1看成（2）中左邊的a與b。

T：很好！

（二）公式法

ab≤12（a2+b2）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

1. 當(dāng)且僅當(dāng)2a+1=2b+1=2時(shí)等號(hào)成立。

因?yàn)?·2a+1≤12（2+2a+1）=12（3+2a），

2·2b+1≤12（2+2b+1）=12（3+2b）。

將上述兩式相加，得

2（2a+1+2b+1）≤12（6+2a+2b）=4。

所以2a+1+2b+1≤22。

2. 當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=3c+1=2時(shí)等號(hào)成立。

因?yàn)?·3a+1≤12（2+3a+1）=12（3+3a），

2·3b+1≤12（2+3b+1）=12（3+3b），

2·3c+1≤12（2+3c+1）=12（3+3c），

所以將上述三式相加，得

2（3a+1+3b+1+3c+1）≤12（9+3a+3b+3c）=6，即3a+1+3b+1+3c+1≤32。

T：其實(shí)，要證2a+1+2b+1≤22，很容易想到什么？

S：兩邊平方。

T：這是什么方法？

S：分析法。

T：是的，即（2a+1+2b+1）2≤（22）2即4（2a+1+2b+1）2-32≤0，是否能想到Δ=b2-4ac≤0？開口向上拋物線函數(shù)值恒大于0，那想到什么方法？

S：構(gòu)造函數(shù)法？

T：漂亮！你們真厲害！

（三）構(gòu)造函數(shù)法

1. 構(gòu)造函數(shù)f（x）=（2a+1·x-1）2+（2b+1·x-1）2

=4x2-2（2a+1+2b+1）x+2。

因?yàn)閒（x）≥0，所以Δ≤0，

即4（2a+1+2b+1）2-32≤0。

所以2a+1+2b+1≤22;

2. 構(gòu)造函數(shù)f（x）=（3a+1·x-1）2+（3b+1·x-1）2+（3c+1·x-1）2

=6x2-2（3a+1+3b+1+3c+1）x+3。

因?yàn)閒（x）≥0，所以Δ≤0，以后證法同上，略。

T：大家已發(fā)現(xiàn)上述兩式之間聯(lián)系及共性，能否再找出一般性結(jié)論？關(guān)鍵注意題a，b的系數(shù)與結(jié)論中2的系數(shù)，用數(shù)字試一試！

二、 四個(gè)推論

用上述證法可以得到以下推論：