巧用n(n-1)/2和n（n-1）解決實際問題

陳永志

[摘要]一元二次方程解決實際問題是中考數學命題的熱點，也是初中數學教學的一個難點.運用n（n-1）/2和n（n-1）可以解決一元二次方程實際問題.

[關鍵詞]一元二次方程;實際問題;解決

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0027-02

運用一元二次方程解決實際問題是初中數學教學的主要內容，既是中考數學的熱門考點之一，也是教學的難點.新課標要求，能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.新課程改革后，初中數學的教材中，每一章書的開篇一般都是以實際問題為背景來導人新學的知識，這樣既可以宣傳國家的相關政策，具有德育的功能，又可以激發學生的學習興趣，在學習數學的知識過程中滲透一些生活實際問題來提高學生運用數學知識解決實際問題的能力.幾年來，筆者曾參加中考閱卷工作，在閱卷過程中發現，很多學生在完成運用一元二次方程解決實際問題的類型題中出現較多的失誤，甚至有些學生對這些題目無從下手，這幾年筆者一直擔任初三畢業班的數學教學工作，在中考備考中也有所收獲，以下就n（n-1）/2和n（n-1）解決實際問題舉例說明.

類型一：球賽場數問題

[例1]某初中要進行班際足球比賽，要求每兩隊之間只進行一場比賽，共要比賽45場，共有幾隊參加比賽？

分析：根據已知條件，可以引導學生注意兩隊之間只進行一場比賽，即比賽是以單循環形式進行的，

解：設共有n個球隊參加比賽，于是n（n-1）/2= 45.

解方程得n1= 10，n2= -9.

因為球隊的數量是正整數，所以n2= -9不符合題意，舍去，所以共有10個球隊參加比賽.

[例2]某初中要進行班際足球比賽，要求每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，共有幾隊參加比賽？

分析：根據已知條件，本題是將例1中的兩隊之間只進行一場比賽改為進行兩場比賽，即比賽是以雙循環形式進行的，

解：設共有n個球隊參加比賽，于是

n（n-1）=90，

解方程得：n1= 10，n2= -9.

因為球隊的數量是正整數，所以n2= -9不符合題意，舍去，所以共有10個球隊參加比賽，

例1和例2其實是球賽的賽制問題，是一個熱點問題，學生日常生活中經常接觸的體育運動，也是學生感興趣的問題，在平時的學習過程中，數學教材也常用有關體育問題來作為情境，激發學生的學習興趣，在平時的學習或考試中出現，學生容易出現分不清的現象，什么時候用單循環比賽形式，什么時候用雙循環比賽形式，教師可以多舉類似球賽場數的例子，

類型二：票價與車票的問題

[例3]某列動車從城市A到城市B，中途要停5個站，且任意兩個站之間的距離不等，車費按公里數計算，問動車從城市A到城市B共有幾種票價？

分析：由已知條件，任意兩個城市之間的動車票價是不同的，而且動車在兩個城市之間的只有一種票價，

解：由已知可得，動車從城市A到城市B的票價總數為7x（7 -1） =2

2

（種），所以動車從城市A到城市B共有21種票價.

[例4]某列動車從城市A到城市B，中途要停5個站，問動車從城市A到城市日共有幾種車票？

分析：由已知條件，任意兩個城市之間的動車往返車票是不同的，因為車票有起始站，所以兩個城市之間應該有兩種車票，

解：由已知可得，動車從城市A到城市B的車票總數為7x（7 - 1）= 42（種）.

所以，動車從城市A到城市B共有42種車票，

中國已經進入了高鐵時代，宣傳中國的鐵路交通運輸也常作為初中數學教學問題引入的情境，通過學生熟悉的購買車票的問題來激發學生的學習興趣，由例3和例4可以看出，車票和票價屬于不同類型的問題，但又存在互相關聯，

類型三：幾何問題

[例5]如圖1，圖中共有幾條線段？共有幾條射線？

分析：本題主要是線段和射線的問題，線段沒有方向，但射線有方向， 解：線段共有5×（5-1）/2= 10（條），射線有5x（5-1）=20（條）.

[例6]在同一平面內，任意兩條直線都不平行的100條直線最多有多少個交點？

分析：由題目已知，在同一平面內，任意兩條不平行直線必相交，

解：共有100×（100-1）/2= 4950（個）.

類型四：QQ電話與QQ信息問題

[例7]某個班級QQ群里共有n人同學，如果兩兩同學互相通電話，且任意兩個人只通一次，共通了990次電話，求n的值，

分析：本題中，由已知可得，任意兩個人只通一次電話，

解：由題意得n（n-1）/2=990，解方程得n1=45，

n2= -44.因為人的數量是正整數，所以n2= -44不符合題意，舍去，所以n的值為45.

[例8]某個班級QQ群里共有n人同學，如果兩兩同學互相發信息，且每個人都發給其他同學一條信息，共發了1980條信息，求n的值，

分析：由已知，任意兩個同學之間要發兩條信息，

解：由題意得n（n -1）=1980，解方程得：n1=45，n2= -44.因為人的數量是正整數，所以n2= -44不符合題意，舍去，所以n的值為45.

當今社會是一個網絡高速發展的時代，學生對網絡也是非常熟悉的，結合現實生活實際在數學教學活動中如何處理數據的問題也可以激發學生的學習熱情，

運用n（n-1）/2和n（n-1）解決實際問題除了以上列舉的問題外，還有各種聚會中所有人兩兩握手的問題、簽合同的問題、一些幾何問題等，在此就不一一列舉了.

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[s].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數學（九年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數學（七年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2012.

（責任編輯黃桂堅）