從“碎片化拼湊”到“整體性建構”

周正娟

[摘要]“圖形與幾何”領域知識自身的邏輯性和教材的編排方式都為實施指向整體建構的教學提供了現實基礎，只有解除碎片化教學的弊端，通過結構化教學，讓學生悟得知識的內在本質和思想方法上的共性，明晰認知的主線和各知識領域之間的關聯，才能變革學習方式，發展學生思維能力，促進學生可持續發展。

[關鍵詞]“圖形與幾何”教學;整體建構;系統性;結構化

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）26-0003-04

小學數學“圖形與幾何”領域的知識，是學生形成邏輯思維能力、發展空間觀念、培養創新精神的重要載體。教學時有意識地幫助學生找到知識內在的結構、關鍵聯結點、思想體系，進行整體性的建構，可以讓學生的數學學習更具全局性，更有生長力，對小學數學教學改革具有重要意義。

一、“圖形與幾何”領域教材編排體系解析

知識的系統化是實施整體建構教學的前提。古希臘數學家歐幾里得創造了一個具有極強邏輯性的幾何世界，他從“點、線、面、距離、長度、角度”出發，借助幾條簡單的公理設定推出了整個幾何邏輯體系。“圖形與幾何”領域知識內部強大的邏輯性和結構性，昭示著在教學中實施“指向整體建構”教學的必要性。小學數學教材的編寫，既尊重知識自身的邏輯性，也遵循《義務教育數學課程標準（2011年版）》對教材編寫的“體現整體性，注重突出核心內容，注重內容之間的相互聯系，注重體現學生學習的整體性”的要求。

以蘇教版教材為例，其在“圖形與幾何”領域一共編排了43個知識點，其中“圖形的認識”板塊有l5個知識點，“測量”板塊有17個知識點，“圖形的運動”板塊有5個知識點，“圖形與位置”板塊有6個知識點，各板塊的內容編排上基本遵循了從“初步辨認”到“掌握特征”的螺旋上升式展開的原則。同時，在編排重要課時之前，往往都會有一些鋪墊性、準備性的課時，以此來輔助重要內容的學習。

以“圖形的認識”這個板塊的編排結構為例（如圖1），整個認知沿著“立體一平面一立體”的主線展開，都是由“初識”“辨認”到“認識特征”。中途有為認識圖形所做的知識準備，如在認識了長方形和正方形之后，并沒有急于進入“三角形、平行四邊形和梯形”的學習，而是穿插編排了“直線、射線和角的認識”“垂線和平行線”等內容，這為更好地探究三角形、平行四邊形、梯形的特點做了準備;也有像直觀認識立體圖形、兩次“觀察物體”這樣為高年級認識立體圖形特征做的方法、能力上的準備。在認識圖形的過程中，重視由生活經驗遷移過來的對空間的認識過渡到對平面的認識，最后發展為理解空間與平面的關系。學生的空間觀念在學習過程中逐漸發展起來。

教材的這些編排，既是對兒童認知特點和身心發展規律的尊重，也表明了在“圖形與幾何”教學時要拎清主次、分清輕重、突出重點、明確主線，這些都是在小學階段開展基于整體建構的“圖形與幾何”教學的有力支撐。

二、“碎片化拼湊”教學現象及其歸因分析

“圖形與幾何”領域的教學普遍存在重知識輕結構、重課時輕統整、重練習輕勾連、重靜態辨識輕動態感知等現象，這就使得學生獲得的對圖形的認知呈碎片化狀態。究其原因，一方面是“圖形與幾何”內容編排在不同年級教學，各知識板塊相關知識點的編排前后相隔比較長，若教師在教學時不能吃透知識的本質、共通的結構、靈魂性的思想方法，就不能及時地在知識瀕臨遺忘和斷層時給學生強化和鞏固。比如“圖形的運動”“圖形與位置”知識板塊，內容相對較少，長期的不接觸、不喚醒，都容易造成碎片化的認知。另一方面，教師自身對“圖形與幾何”的認知存在差異，一些教師對教學內容僅有淺表的理解，對其在整個知識體系中的位置沒有全局認識，缺少主線意識，這就造成了其在教學時僅僅著眼于某一課時的教學內容，而忽略知識系統的整體勾連。

碎片化的知識呈現零散狀，而系統化的知識是整體的，是具有邏輯性的。兒童的學習倘若都是碎片化的、點狀的，那么他們的學習只是不斷擴充著自己的知識，這些知識孤零零地漂浮在腦海中，彼此之間缺少聯系。長此以往，兒童獲得的也就僅僅是一個沒有靈魂的碎片化的拼圖，他們不能理解這些散裝的知識內部的邏輯關系，不能領略一整片森林的風景。

碎片化認知的弊端還在于增加了兒童學習的負擔，由于沒有掌握知識、思想、方法上的共通之處，沒有掌握同一類知識的本質特征，就不能準確區分各知識點在知識體系中的位置。兒童學習“幾何與圖形”知識的主要途徑是“直觀感知一操作確認一演繹推理一度量計算”，標準化測試易于測量后兩個環節的掌握情況。為防止知識被遺忘，教師往往會用大量重復性的練習來強化學生解題能力的培養，卻不去關注概念、公式、性質產生的背景、原因、必要性等，不去前瞻后顧，尋找知識、方法間的共通之處，不去拔高一層縱覽知識系統的全貌，這樣的學習無疑缺少了生長的力量和邏輯的魅力。

三、指向整體建構的教學策略

指向整體建構的“圖形與幾何”教學是建立在圖形知識系統和學生已有認知基礎、活動經驗之上的，以整體關聯為抓手，以動態建構為核心，以發展思維為導向，以基礎學力與數學素養為目標追求的學習過程、學習方式和方法。在實際操作時，不妨從以下幾個方面展開。

1.領悟知識，緊扣本質用結構

“圖形與幾何”概念、定義、性質的教學不應單純在概念的文字表述上下功夫，而要把重點放在通過“數學地交流”促進學生對其實質的領悟。學生的學習呈現碎片化的狀態，很重要的一點就是學生缺少發現學習內容間的共性、知識點背后的結構的能力。教師如果能有意識地培養學生用數學的“慧眼”去發現“圖形與幾何”學習內容間內在的邏輯性，“四兩撥千斤”，學生學習起來自然輕松。

比如計量單位的教學，長度單位、面積單位、體積（容積）單位是從一維到二維的測量，再到三維的測量，其內部的本質是什么呢？細細思考就會發現，其本質都是計量時需要確定一個統一的標準，使得表達計量的情況時別人能夠明白計量情況，對計量的結果不存異議。這時候就需要一把大家公認的“尺”，用這把“尺”測量之后，就能準確地計量線的長短、面和體的大小。悟透了其本質，就能夠找到計量單位學習的“三步曲”：第一步，定標準：在多樣的、個性化的計量標準中確定一個具有通用價值的計量標準，獲得大家的認可;第二步，去測量：用統一的計量標準去測量長度、面積或體積（容積）等;第三步，得結果：可以通過計數得出所需測量的長度、面積或體積（容積）中含有多少個計量單位，當然這個結果還可以通過計算得出，重點是得出的結果是大家都能理解的，能明晰其量值的。不管是長度單位、面積單位，還是體積（容積）單位，在教學時遵循這樣的三步，學習方法上的結構自然就出來了。在教學長度單位時，讓學生深刻地理解計量單位學習“三步曲”的意義，到教學面積單位時，喚醒學生學習長度單位的經驗，也利用計量單位學習“三步曲”，嘗試進行類比推理。結構一現，“活水”自然來：不僅看到知識生長的“源頭活水”，還預見到知識生長的“未來模樣”。這樣的結構建立在對計量單位本質的理解之上，對同類型知識具有統攝作用，滲透、鋪墊得越早，越利于學生進行角的度量、體積（容積）單位的建構，甚至“數與代數”領域計量單位的建構，結構的一致對同質知識的學習能產生較強的正遷移作用，常常起到事半功倍的效果。

2.探尋共性，前瞻后顧做統領

數學研究具有普遍的思想方法，其背后體現的是整體性思維。譬如轉化思想就是“圖形與幾何”內容極其重要的思想，把不能解決的新問題轉化成已經解決的舊問題，把繁難復雜的問題轉化成簡單易懂的問題，這些具有普遍意義。如果學生能夠悟得這些數學思想，利用這些思想方法去統領各個知識點，就能讓學到的知識連成線、織成網、架成體。

在教學梯形的面積計算時，教師出示問題：我們學過了平行四邊形、三角形的面積計算公式，回憶一下是怎樣研究它們的？在喚醒學生這些學習經驗之后，讓學生嘗試研究梯形的面積可以怎么計算。學生給出的方法是多樣的。教師的教學不應止于學生掌握了梯形面積計算公式，還應有意識地指導學生將幾種推導方法進行梳理（如圖2）。這樣，學生就會發現：方法①②③是通過分割，將梯形面積轉化成求長方形、三角形、平行四邊形的面積，是由推導平行四邊形面積計算公式的思路遷移過來的;方法④是通過添補一個完全相同的梯形，將求梯形面積的問題轉化成求平行四邊形面積的問題，是由三角形面積計算公式推導的思路遷移過來的。至此，得到了幾類平面圖形面積計算公式的共性：都是運用了轉化思想，轉化思想是推導圖形面積計算公式的“魂”。

像上述轉化思想的運用是以學習內容為載體，將學生的研究經驗植入其中，既能增加學生對知識的整體認知，又能培養學生用幾何研究的“基本套路”進行思考的習慣。這種將思想方法“普適”，將研究經驗“一般化”，培養的是學生思維的結構性。

3.明晰主線，抓住關聯顯整體

“圖形與幾何”教學的價值體現在對兒童空間思維能力的培養。學生對圖形的認知起于對客觀空間的經驗，經過數學的學習建立起平面圖形的網絡，然后再由平面圖形的認知跨越到立體圖形的空間架構。圖形的世界如此豐富，要緊緊抓住“點一線一面一體”這條邏輯線，教學才能突出重點。在認識圖形時，通過反復的滲透、點撥，讓學生知道所有的幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點動成線，線動成面，面動成體。“點”是研究“線”的關鍵元素，“點”和“線”是研究“面”的關鍵元素，“點”“線”和“面”是研究“體”的關鍵元素（如圖3）。

一年級上冊通過遷移學生玩積木、玩玩具的經驗引導學生認識立體圖形長方體、正方體、圓柱;教學一年級下冊時，如果教師通過讓學生玩“蓋章”的游戲，將長方體、正方體、圓柱、三棱柱等形狀的印章在紙面上按一按，從實物中抽象出長方形、正方形、圓、三角形這些平面圖形，學生就能在玩游戲的過程中感悟到“體”上有“面”，“面”從“體”上來。到二年級教學“角的初步認識”時，讓學生在長方體、正方體、圓柱這些立體圖形上找熟悉的平面圖形。學生在長方體上找到了長方形，在正方體上找到了正方形，在圓柱上找到了圓。此時，課件動態展示“面”從“體”上而來的過程。“‘面上又有什么？”學生通過觀察，發現“面”上有“點”，“面”上有“線”，“面”上有“角”……角是個新圖形，于是學生將目光聚焦于角，開始新知識的學習。

再如認識直線、射線和線段時，讓學生感受“點”動成“線”;認識長方形、正方形、平行四邊形時，通過線段的平移，讓學生感受“線”動成“面”;認識立體圖形時，再通過長方形沿直線方向運動形成長方體，正方形沿直線方向運動形成正方體，圓沿直線方向運動形成圓柱，讓學生體會“面”動成“體”。這樣，學生就能感受到知識之間的內在關聯，形成整體性的認知。

4.跨域鏈接，著眼全局促通透

“圖形與幾何”內容的學習要求學生具有良好的空間想象力，如果學生的空間觀念不好，則很難理解圖形知識。這時，教師可以鏈接“數與代數”“統計與概率”“綜合與實踐”領域的學習，喚起學生的學習經驗，讓學生觸類旁通，達到認識上的通透。

在認識射線和直線時，“射線和直線無限長”是理解的難點。為了突破這一教學難點，可以鏈接學生認數的經驗。首先，教師出示一年級認數的課本頁面：“我們認識0、1、2、3、4-的時候，會在直尺上表示它們。后來我們認識了十幾、二十幾……這把尺只要往右加長，我們認識的數都可以在上面排一排。數有無限多，這把尺就要向右無限延展。想一想，如果這把尺上的刻度、數字都消失了（課件顯示從尺上抽象出線的過程），只會留下什么？”學生自然就能聯想到，留下的是一條射線（如圖4）。“以后你們還會認識比0更小的數——負數，這把尺就要向左延展（課件顯示尺向左延展的動態過程，并逐漸隱去數和刻度），這時你又看到了什么線呢？”

將認數的經驗遷移到對射線和直線的理解上來：數有無數個，線有無限長;能向一端無限延長的是射線，兩端都能無限延長的是直線。換個角度來理解，學生的學習變得通透，具有靈性。

實施指向整體建構的小學“圖形與幾何”教學是避免兒童碎片化認知，突出知識本質特征，重視知識間的關聯與溝通，實現幾何認知系統化、結構化的回歸與突圍的一個視角。它尊重了兒童認識世界的規律，順應了幾何學自身邏輯性強的特點，促進了兒童整體性思維、全局性觀念的發展，對改變兒童學習方式、提升兒童數學學科素養極具意義。

【本文系全國教育科學“十三五”規劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構的小學數學簡約教學資源建設”的階段研究成果，課題批準號：DHA190453。】

（責編金鈴）