函數(shù)思想下分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題的教學(xué)探究

鄭祥旦

分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，在后繼學(xué)習(xí)中可看作分段函數(shù)的問(wèn)題。運(yùn)用函數(shù)思想做好分段計(jì)費(fèi)的教學(xué)，需要了解分段教學(xué)的基本思想，需要了解學(xué)生使用圖象法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

一、了解分段函數(shù)的基本思想

分段函數(shù)本身不是初等函數(shù)，但它是由若干個(gè)基本初等函數(shù)組合而成的。例如，人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)有如下的一道例題，其中 y與x的函數(shù)解析式可表示為y=[5x，0≤x≤24x+2，x>2]，其圖象如圖1所示。

例：“黃金1號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5元/kg，如果一次購(gòu)買(mǎi)2kg以上的種子，超過(guò)2kg部分的種子價(jià)格打8折。

（1） 填寫(xiě)下表。

[購(gòu)買(mǎi)量 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …… 付款金額/元 …… ]

（2） 寫(xiě)出購(gòu)買(mǎi)量關(guān)于付款金額的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)圖象。

x=2是此分段函數(shù)的分段點(diǎn)，同時(shí)y（x）在x=2是連續(xù)的。而函數(shù)的連續(xù)性及其相關(guān)的證明通常是微積分的內(nèi)容。

與上題相比，五年級(jí)分段計(jì)費(fèi)的例題則是另一種表現(xiàn)形式的分段函數(shù)， y與x的函數(shù)解析式可表示為y=[7，0

x=3、4、5、6是此分段函數(shù)的分段點(diǎn)，y（x）在x=3、4、5、6上也是連續(xù)的（如圖2）。

其圖形在x=3、4、5、6各點(diǎn)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，我們稱(chēng)x=3、4、5、6為函數(shù)y（x）的跳躍點(diǎn)。

顯然，學(xué)生畫(huà)出這樣的圖形是不符合題意的（如圖3），該圖形用函數(shù)解析式表示為：

進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，分段計(jì)費(fèi)的例題是由若干常量函數(shù)組合而成的分段函數(shù)，學(xué)生畫(huà)出的圖形是由常量函數(shù)和正比例函數(shù)組合而成的，而八年級(jí)所學(xué)的則是由兩個(gè)不同的正比例函數(shù)組合而成的。但這樣的題目也存在于五年級(jí)的練習(xí)題，如“某市自來(lái)水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以?xún)?nèi)的每噸2.5元;超過(guò)12噸的部分，每噸3.8元。小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？”

二、了解學(xué)生使用圖象法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

一般來(lái)說(shuō)，表示函數(shù)的方法有三種方法：解析式法、列表法和圖象法。在五年級(jí)的教材里，僅在“回顧與反思”階段要求學(xué)生用列表法檢驗(yàn)解答的結(jié)果正確與否。從正向思維的角度來(lái)看，該表中的數(shù)據(jù)可以正確的結(jié)果，但從反向思維的角度來(lái)看該表中的數(shù)據(jù)既可以是圖2的數(shù)據(jù)，也可以是圖3的數(shù)據(jù)，或者說(shuō)數(shù)據(jù)所表征的含義不是唯一的。為了正確理解題意，教學(xué)時(shí)需要運(yùn)用圖象法進(jìn)行分析。從邏輯結(jié)構(gòu)分析，線段圖是圖象法的最直接的表現(xiàn)，如圖4所示。

線段圖需要用線段的長(zhǎng)度來(lái)表示具體的數(shù)量，而且圖中線段的長(zhǎng)短關(guān)系要符合題目的數(shù)量關(guān)系。借助線段圖，學(xué)生建立了數(shù)學(xué)的直觀模型。從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，條形統(tǒng)計(jì)圖也是圖象法的最直接的表現(xiàn)，只要作簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換條形統(tǒng)計(jì)圖就變成了直角坐標(biāo)系。進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，兩者的結(jié)合即是學(xué)生產(chǎn)生可理解的函數(shù)圖象。

三、基于函數(shù)思想的教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)（即“規(guī)定思想”）從而利用函數(shù)的性質(zhì)（已知、未知和規(guī)定思想）來(lái)解題的一種思維策略。“已知”，就是指“定量”;而“未知”則是指“變量”;“規(guī)定思想”則是指根據(jù)事物的規(guī)律而人為的構(gòu)造的一種客觀的函數(shù)關(guān)系。基于這種思維策略，分段計(jì)費(fèi)的教學(xué)可以這樣設(shè)計(jì)。

（一）讀題，畫(huà)線段圖，列式解答

出示主題圖，讀出題意：王叔叔乘坐出租車(chē)行駛6.3km。出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：3km以?xún)?nèi)7元;超過(guò)3km，每千米1.5元（不足1km按1km計(jì)算）。他要付多少錢(qián)？

引導(dǎo)畫(huà)線段圖，學(xué)生可能畫(huà)出下列各種情形（圖3也是其中的一種）。

不同的學(xué)生可能有不同的思考，或者是從車(chē)費(fèi)的角度，或者從是路程的角度，他們從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，畫(huà)出線段圖，根據(jù)所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，正確地列式解答。但是，這并不代表他們已經(jīng)完全地理解了分段計(jì)費(fèi)的運(yùn)算原理，特別是從函數(shù)思想的角度去思考問(wèn)題。

（二）批判性思考，理解“定量”和“變量”的關(guān)系，畫(huà)出圖象

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解答過(guò)程進(jìn)行批判性思考，并與之交流。

教師提問(wèn)：你確信你的解法是正確的？然后，引導(dǎo)學(xué)生邊讀題邊追問(wèn)：①如果王叔叔只乘坐0.5km，要付多少錢(qián)？（7元）②如果王叔叔只付7元錢(qián)，他最多能乘坐多少km？（3km）③如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少錢(qián)？（8.5元。④如果王叔叔付了8.5元，他可能乘坐多少km？（4km。所以說(shuō)，8.5元分為兩段：7元，1.5元。）⑤如果王叔叔乘坐4.2km，要付多少錢(qián)？（10元。它分為三段：7元，1.5元，1.5元。）

通過(guò)反思，學(xué)生會(huì)理解行程在0

教師示范：現(xiàn)在，把線段圖的第一段，3km以?xún)?nèi)7元，畫(huà)到新的圖上。（如圖5）

教師提問(wèn)：第二段、第三段應(yīng)該怎樣畫(huà)呢？學(xué)生嘗試畫(huà)出這兩個(gè)線段，并推理畫(huà)出第四、五段。師生合作共同把線段圖轉(zhuǎn)換為分段函數(shù)的圖象。（如圖2）

通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生理解x=3、4、5、6是函數(shù)的跳躍點(diǎn)。更進(jìn)一步，學(xué)生直觀地理解這是由5個(gè)常量函數(shù)組合而成的分段函數(shù)，所以，列式計(jì)算是：7+1.5×4=13（元）。

教師提問(wèn)：你能完成出租車(chē)的價(jià)格表嗎？學(xué)生獨(dú)立填寫(xiě)出下表。

[行駛的里程/km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出租車(chē)費(fèi)/元 7 7 7 8.5 10 11.5 13 14.5 16 17.5 ]

教師還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用查表法，進(jìn)一步理解“定量”和“變量”的關(guān)系，如7km要付13元。

（三）辯證思考，理解新的“變量”，畫(huà)出新的圖象

教師提問(wèn)：如果去掉括號(hào)里的要求，題目變成“王叔叔乘坐出租車(chē)行駛6.3km。出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：3km以?xún)?nèi)7元;超過(guò)3km，每千米1.5元。他要付多少錢(qián)？”其解法會(huì)一樣嗎？

引導(dǎo)學(xué)生理解第一段“3km以?xún)?nèi)7元”是一樣的。但接著發(fā)生的事就不一樣了。

①如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少錢(qián)？（7+1.5×0.1=7.15元。）②王叔叔乘坐6.3km，要付多少錢(qián)？（7+1.5×3.3=11.95元。）

圖象要相應(yīng)地進(jìn)行修改，教師畫(huà)出新的圖象（如圖2），描出點(diǎn)（6.3，11.95）的位置。然后，告訴學(xué)生這條線被分成兩段，x=3是它的分段點(diǎn)。

（四）鞏固練習(xí)，用類(lèi)比法判斷出不同函數(shù)所相應(yīng)的圖象

教師可以先出示習(xí)題。某市自來(lái)水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以?xún)?nèi)的每噸2.5元;超過(guò)12噸的部分，每噸3.8元。

（1）小云家上個(gè)月的用水量為11噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

（2）小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

要求學(xué)生讀題，畫(huà)出相應(yīng)的圖象，得出結(jié)論：第（1）題用水量在12噸以?xún)?nèi)，只畫(huà)一條線段;第（2）題分段計(jì)費(fèi)不同于圖2，也不同于圖3，是新的圖形（與圖1類(lèi)似）。

參考文獻(xiàn)：

[1][德]菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）[M].舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

課題項(xiàng)目：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題“教育現(xiàn)代化2035視域下農(nóng)村義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展的策略研究”的研究成果之一。課題編號(hào)FJJKCG19-089。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）