案例驅動的“離散數學”教學研究

金耀 胡雅麗 田秋紅 宋瑾鈺

[摘 要] 針對“離散數學”課程概念多、理論性強、內容抽象，而學生不易掌握，更不會應用等現象，分析了離散數學在銜接自然語言與程序語言中所起的重要作用，以講授“等價關系”知識點為例探討了案例驅動的教學方法，以期培養并提高學生理解與運用數學知識的能力。

[關鍵詞] 離散數學;數學思維;教學方法

[基金項目] 2017年度浙江理工大學課堂教學改革項目“《離散數學》案例式教學的研究與實踐”（kg201707）;2019年度浙江理工大學教學改革項目“基于培養學生多元化能力的《離散數學》全英文課程的改革與完善”ylxm201908）;2017年度中國紡織工業聯合會教育教學改革項目“以能力培養為核心的《Java程序設計》實驗教學改革與實踐”（2017BKJGLX293）

[作者簡介] 金 耀（1984—），男，浙江紹興人，工學博士，浙江理工大學數字媒體技術系講師，碩士生導師，主要從事計算機圖形學研究;胡雅麗（1986—），女，浙江紹興人，機械工程碩士，浙江理工大學信息化辦公室工程師（通信作者），主要從事高校數據治理與大數據分析研究;田秋紅（1976—），女，遼寧興城人，理工學博士，浙江理工大學信息學院副教授，碩士生導師，主要從事圖像處理與模式識別研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）29-0264-03 ? ?[收稿日期]2019-09-20

一、引言

“離散數學”作為一門面向計算機類專業的數學課程，是該專業的一門重要基礎課程，同時也是許多其他核心課程的先導課程[1]。因此，學好“離散數學”課程不僅對于計算機類專業的學生非常重要，而且也賦予了教師相應的使命感。

“離散數學”課程的特點是概念多、理論性強、內容抽象，因而學生想掌握該課程并非易事。筆者在教學與科研實踐中發現不同階段的學生對離散數學的認識均存在著偏見。不少低年級學生認為該課程難度大、聽課累、興趣不高;相當部分的高年級學生認為該課程沒有實際用途，與專業相關性小;甚至有部分研究生也存在著類似的觀點，其在解決問題時，往往繞過嚴密的數學推演而直接寫代碼，從而時常出現代碼質量差、準確率低等問題，而究其原因往往是沒有把問題想明白，即未曾用數學語言對問題進行嚴謹的定義與精確的建模。

“離散數學”所教授內容雖然以數學知識點為主，具有較強的理論性，但其計算機專業的屬性又使其同時具有應用性的特點，因此適合案例教學，使學生更好地掌握理解與運用理論知識的技能。案例教學法即將教學案例引入課堂，引導學生以案例為基礎對知識點進行理解、分析與思考[2]。不少教學工作者探索了面向“離散數學”課程的案例教學方法。其中一類探討案例教學的方法論。閔勇以創新實踐案例為基礎，利用翻轉課堂和創新項目的形式開展教學[3]。徐周波等人結合逆向案例，將教學設計思路“提出問題—分析問題—引入概念—抽象建模—設計分析—程序設計”貫穿于教學活動中[4]。另一類則注重具體案例的設計與實施。吳偉以計算機鼓輪設計為例，從問題的提出、分析與解決三階段討論了案例教學的實施過程[2]。徐周波等人以有序二叉決策圖（OBDD）為例探討了離散數學的應用場景[5]。陳光喜等人以“成語接龍”游戲為例分析了案例使用的思路、方法及其作用[6]。楊洪等人以若干經典應用案例為例從精選案例、科學設計討論問題、討論與總結等方面探索了案例教學方法[7]。賁可榮與謝茜針對解題中的應用案例，分析求解過程以此激發學生的學習興趣[8]。

受到上述教學思路的啟發，筆者亦嘗試將案例式教學方法引入“離散數學”課程的教學。與上述方法所不同的是，本文從離散數學的“樞紐地位”出發，以“等價關系”為例剖析其在問題描述與求解中的關鍵作用，以期加深學生對離散數學概念與原理的理解，激發其學習興趣，培養其數學思維，提高其分析和解決實際問題的能力，從而達到學以致用的目的。

二、離散數學的樞紐地位

計算機類專業具有很強的實踐性，以培養學生運用程序語言解決實際問題為目標。然而以自然語言描述的實際問題往往與程序語言存在“鴻溝”，往往難以運用程序語言直接描述與解決問題。而離散數學作為計算機的數學語言，扮演著銜接自然語言與程序語言的角色，起著上承自然語言，下啟程序語言的樞紐作用。

圖1所示即為三種語言之間的轉換關系。一方面，數學語言雖精確嚴謹，但往往晦澀難懂，因而運用直觀的自然語言表達數學語言有助于學生理解其背后的內涵;另一方面，數學語言能夠將自然語言所表達的問題形式化與精確化，有助于運用所學的數學知識解決實際問題。此外，數學語言又與程序語言最為貼近，為程序設計提供直接的依據，有助于提高程序設計的效率與準確率。筆者嘗試運用圖1所述離散數學的樞紐作用作為指導思想，結合具體案例講授離散數學課程知識，力求將知識點化難為易，同時強化學生以邏輯思維與計算思維為主的數學思維能力，為其今后的學習與研究打下扎實的基礎。

三、案例教學之“等價關系”

（一）案例設計

作為教學案例，異于例題，其應具有趣味性、前沿性、綜合性、多樣性與可操作性等特點[3]，同時又能生動地體現圖1所示內涵，反映了離散數學的樞紐地位。因此案例的設計對授課教師提出了較高的要求，促使教師在日常生活中細致觀察與思考問題，并充分挖掘科研領域的資源，設計出理想的案例，以期達到科研反哺教學的目的。

在設計案例內容時，需深入思考、理解案例的本質，明確其在離散數學樞紐地位中扮演的角色，從而能夠有效地將案例與知識點有機結合，深刻理解知識點的內涵與外延作用，在課堂講授時能夠清晰地呈現給學生。以下以“等價關系”這一離散數學中重要章節為例，講述案例驅動的教學方法。

（二）等價關系的定義——幾何變換

教材在介紹“等價關系”時，往往直接給出其數學定義——滿足“自反、對稱與傳遞”性質的關系。學生面對這一概念時，往往難以揣摩“等價”的含義，不明白為什么把具有這三種性質的關系定義成等價關系，而不得不通過死記硬背的方式把該知識點強記于心。對此，筆者設計了計算機圖形學中幾何變換的案例，借助自然語言解釋該數學概念，將抽象的數學概念運用生活語言進行描述，并通過合理的課堂設計，引導學生自己思考、定義等價關系，使其更好地理解知識點，領悟教材未能言明的內涵。

在講授“等價關系”概念前，首先以圖2所示的三組圖形作為引子，對其進行逐一解釋。其中（a）圖表明在等歐式距離變換下兩模型可看作同一個;（b）圖表明在等測地線距離變換下兩模型也可認為是相同的;（c）圖表明在拓撲或連續變換下兩模型也是等同的。三組圖共同描述了幾何對象在固定的變換下保持某種性質不變的現象。然而進行課堂討論，對學生進行提問“若將幾何變換是否是關系，若是則其滿足哪些性質？”。經過討論，學生不僅對等價關系有了直觀的認識，而且據此可以自己給出等價關系的數學定義。進而學生通過該案例明白了一些觀點：分類是人們認識事物規律的一種常用方法;而同一類事物采用“等價”這一概念進行描述;兩個對象“等價”是相對的，即在某種關系下等價，而在另一種關系下可能不等價，等等。

通過該實例的講解，學生不僅對等價關系有了直觀的認識，而且據此可以自己給出等價關系的數學定義，并且后續即將學習的“等價類”與“商集”等概念也自然理解了。這種案例教學不僅調節了課堂氣氛，而且激發學生的學習興趣，使其更易掌握知識點，領會數學知識背后的思想與方法。

（三）等價關系的應用——圖像分割

數學語言亦可刻畫自然語言，能夠準確地定義問題，理解問題的本質，進而方便問題的建模與求解。在教學中力求將離散數學知識點與應用案例的緊密結合，培養學生運用書本所學的知識點描述與解決實際問題。

筆者在講授等價關系知識點以后，布置一個作業，即要求學生運用等價關系與集合劃分的數學語言對數字圖像處理的一個經典問題——“圖像分割”下一個嚴格的數學定義。圖像分割運用自然語言描述即把圖像分成若干個特定的、具有獨特性質的區域并提出感興趣目標的技術和過程[9]，如圖3所示，將（a）圖中的表示不同對象的區域分離出來。

學生根據筆者給出的圖像及分割的描述，從具體案例中思考圖像與分割和集合與劃分之間的聯系，并嘗試用集合劃分的語言為其下定義。學生通過類比的方式，明白了圖像分割是一種特殊的集合劃分，既有集合劃分的共性，也有其特殊性——同一等價類是一個連通域。

通過該練習，學生不僅加深了對集合劃分概念的理解并了解了圖像分割這一重要的圖像處理問題，而且通過多次訓練逐步學會如何運用數學思維思考問題，并掌握運用數學語言描述問題的方法。

（四）等價關系的實現——等價關系的判定

離散數學既具有理論性又具有實踐性。為鞏固離散數學的知識點，同時提升學生用程序解決實際問題的能力，筆者嘗試開設少量的實驗課，嘗試將數學描述的概念與方法，運用程序語言加以實現。

筆者選取了一些難度相對較小又具有代表性的案例，如等價關系的判定，即給定用數學語言描述的關系R，據此判斷R是否是等價關系。引導學生如何從關系的三種數學描述（集合法、關系矩陣、關系圖）出發建立相應的數據結構，根據等價關系的三個性質設計出相應的算法，并最終通過編寫程序實現。從而逐步培養學生用數學的眼光看待實際問題，用程序的思維看待數學問題，學會建立數學語言與程序語言內在的聯系。

四、教學效果

筆者根據上述教學思路，設計了約50余個案例與大綱的一些重要或難度較大的知識點結合，并在“離散數學”課堂實施教學活動已有兩年，取得了良好的教學效果。通過問卷調查了解到，超過93%的學生對課題教學滿意或非常滿意，近86%的學生認為案例對理解知識點幫助很大，超過88%的學生希望在今后的教學中也能增加案例。關于案例的內容與呈現方式，63%的學生對專業應用案例，如人工智能、圖形圖像處理等較為感興趣，近84%的學生喜歡圖片與視頻形式的案例。上述數據表明，學生對課堂教學效果認可度較高。此外，從平時課堂測試以及期末成績來看，大部分學生均能較好地掌握知識點，能夠舉一反三，并運用離散數學的理論知識解決一些實際問題。

五、結語

本文討論了離散數學在銜接自然語言與程序語言起著重要的樞紐作用，以講授“等價關系”知識點為例，探討了“離散數學”課程的案例式教學方法。課堂實踐表明，該教學方法不僅能夠將教學內容化難為易，更好地傳授知識點，而且能將理論與應用實踐緊密結合，激發學生的學習興趣，培養其數學思維能力，起到了良好的教學效果。

參考文獻

[1]耿素云，屈婉玲，張立昴.離散數學（第五版）[M].北京：清華大學出版社，2013.

[2]吳偉.淺析離散數學課程中的案例教學法[J].科教論壇，2018（12）：42.

[3]閔勇.基于創新實踐案例的離散數學教學方法[J].計算機教育，2016（16）：39-42.

[4]徐周波，古天龍，常亮.突顯能力培養的離散數學逆向案例教學改革探索[J].計算機教育，2017（12）：69-72.

[5]徐周波，古天龍.“離散數學”中的OBDD案例教學研究[J].計算機教育，2010（2）：122-124.

[6]陳光喜，古天龍，常亮，等.一個“離散數學”課程教學案例的應用分析[J].工業和信息化教育，2018（4）：12-14.

[7]楊洪，張宏禮，朱桂英.離散數學課程案例式教學方法初探[J].計算機教育，2015（15）：27-30.

[8]賁可榮，謝茜.通過應用案例提高離散數學教學效果探究[J].軟件導刊，2016，15（12）：35-37.

[9]Milan Sonka，Vadav Hhvac，Roger Boyle，et al.Image Processing，Analysis，and Machine Vision[M].北京：人民郵電出版社，2003.

[10]Lin D，Dai J，Jia J，et al.Scribblesup：Scribble-Supervised Convolutional Networks for Semantic Segmentation[C].Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition，2016：3159-3167.