2020 年高考數學備考

◎苗金利 （北京四中，北京 100034）

2020 年高考，數學學科把握正確的政治方向，堅持以“立德樹人”為核心，樹立以人為本的高考價值觀，命題方向從關注分數逐漸向關注人的發展過渡；能力內涵不斷擴大，強化數學文化因素，數學價值理念增強，強化數學工具、數學應用、數學美，即“萬物皆數”；堅持高考制度的改革，堅持穩字當頭、穩中有新．

一、試題注重“常規樸素”,考查基礎知識

2020 年3 月初，北京市與海南等省進行了高考適應性摸底檢測（北京四中采取的是網絡發卷、網絡閱卷，有的學校用郵政快遞投送），無論是主觀題還是客觀題，都加強了對基礎知識的考查，很好地突出了教學重點，注重常規數學思想方法、通性通法的滲透．但基礎并不等同于簡單、容易，這里的“基礎”強化對通性通法的考查，仍需一定的思維品質及運算能力，如下面的劣構問題．此類試題一定有一些“味道”，不可能像“白開水”那樣無滋無味．

（2020 年3 月北京市高考適應性測試17 題）已知｛an｝是公比為q 的無窮等比數列，其前n 項和為Sn，滿足a3＝12，．是否存在正整數k，使得Sk＞2020？ 若存在，求k 的最小值；若不存在，說明理由．

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

二、試題“穩中有新”,凸顯高考改革及新課程改革理念的精髓

數學文化、數學應用來源于生活實際，“編”的痕跡逐漸變淡；數學運算寓于數學主干知識之中，有機結合．2019 年的高考數學試題，讓我們感受到高考改革及課程改革濃厚的氣息，新課程的理念和評價思路滲透在試題中，考查目標更是與新課程的教學要求有比較緊密的相關性，能夠讓人明顯感覺到高考與課標要求之間的對接與配合，試題體現出穩定之中有新意、有亮點、有變化的共同特點，如2019 年高考數學全國Ⅰ卷中的第四題，求“斷臂維納斯”的身高．

三、考查數學本質,是學生所接受數學教育的展示舞臺

高考數學將傳統常規與時尚創新巧妙結合，注重“時尚”及“傳統”的結合，變化試題結構和形式，考查數學“本源”及對數學“整體”的理解與把握，拒絕八股文似的“套模”，更有利于全體考生正常發揮，“讓試卷成為考生展示自己風采的舞臺”，“尊重考生12 年的付出”，“考查考生的創新精神和潛質，增強試題的科學性、公平性和規范性”．高考數學在進一步處理好“知識與能力”考查的同時，適當加大“過程與方法”的考查力度，兼顧“情感態度與價值觀”的考查．例如，2019 年高考數學全國Ⅰ卷中，概率統計題放在選做題之前作為最后一道壓軸題；北京市2020 年高考適應性測試中，立體幾何題為第一道大題，調整了試題位置．

四、高考改革與學科趨勢分析,暨2020 年高考備考指導

2020 年，全國大部分省市高考制度改革，近幾年新課程標準、新教材均處于過渡期，“和諧”穩定的高考命題成為廣大考生、家長及全社會的共同期待．

關于2020 年高考數學備考，總的建議如下：

（1）立足基礎落實，理解概念本質，整體把握試題；

（2）突破模式化，培養數學思維能力，以不變應萬變；

（3）數學文化（如世界與中國，物理，化學，天文，經濟），數學應用（如勞動美，數學美——星形線、兩個半橢圓、三朵云、維納斯），數學建模；

（4）在題型結構控制難度的基礎上，小題多空，開放小題、劣構試題、多選題等，提高對思維品質的考查；

（5）有效備考要注意：按部就班不跳步，有規律地去刷題，學會系統和自檢．

具體來說，高考數學備考要以知識為主線（區別于方法），包括從知識內容到對數學的整體把握、從解題方法策略到考試答卷時的得分感覺．

下面是筆者在中國教育電視臺2020 年“同上一堂課”期間整理的部分試題，供同學們復習時參考．

例1在△ABC 中，AC＝BC，P1，P2，P3為AB 上的點，且則（ ）．

A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2

C．I3＜I2＜I1D．I2＜I1＜I3

答案:D

例2已知直線x＋y＋2 ＝0 與圓x2＋y2＋2x-2y＋a ＝0 無公共點，則實數a 的取值范圍為．

答案:（0，2）

例3用不等臂天平稱質量為4 g 的藥品，先放在左盤上稱，再放在右盤上稱，記下兩次的結果．其記錄數據可能是下列的哪一組？ （ ）．

A．2 g，6 g B．4 g，1 g

C．10 g，6 g D．2 g，8 g

答案:D

例4某學校數學建模小組為了研究雙層玻璃窗中每層玻璃的厚度d（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間所夾空氣層的厚度l 對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量q 滿足關系式：q ＝λ1·其中，玻璃的熱傳導系數λ1＝4×10-3焦耳／（厘米·秒·攝氏度），不流通、干燥空氣的熱傳導系數λ2＝2．5×10-4焦耳／（厘米·秒·攝氏度），ΔT 為室內外的溫度差．q 值越小，保溫效果越好．現有四種型號的雙層玻璃窗，具體數據如下表：

答案:B

例5已知a，b，a＋m 均為大于0 的實數，給出下列五個論斷：

以其中的兩個論斷作為條件，從余下的論斷中選擇一個作為結論，請你寫出一個正確的命題：．

答案:①③?⑤（答案不唯一）

例6某地一種出租車的車費的計算規定如下：

①基本車費為7 元，行程不足或等于3 公里時，只收取基本車費；

②行程不足或等于5 公里時，大于3 公里的那部分，每增加0．5 公里加收車費0．7 元，不足0．5 公里按0．5 公里計算；

③行程大于5 公里時，大于5 公里的那部分，每增加0．2公里加收車費0．4 元，不足0．2 公里按0．2 公里計算．

如果某人從A 地到B 地的行程為4．3 公里，那么車費為元；如果某人從A 地到B 地共付車費11 元，那么行程x 公里的取值范圍是．

答案:9．1；（5．4，5．6］

例7在平面直角坐標系中，曲線C 是由到兩個定點A（1，0）和B（-1，0）的距離之積等于的所有點組成的．對于曲線C，有下列四個結論：

①曲線C 是軸對稱圖形；

②曲線C 是中心對稱圖形；

③曲線C 上所有的點都在單位圓x2＋y2＝1 內；

答案:①②

例8一個國際象棋棋盤（由8×8 個方格組成），其中有一個小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）．“L”形骨牌由三個相鄰的小方格組成，如下圖所示．現要將這個破損的棋盤剪成數個“L”形骨牌，則（ ）．

A．至多能剪成19 塊“L”形骨牌

B．至多能剪成20 塊“L”形骨牌

C．一定能剪成21 塊“L”形骨牌

D．前三個答案都不對

答案:C

例9已知△ABC滿足下列四個條件中的三個：

（Ⅰ）請指出這三個條件，并說明理由；

（Ⅱ）求△ABC 的面積．

答案:（Ⅰ）①③④；（Ⅱ）6 3．

例10某地區高考實行新方案，規定：語文、數學和英語是考生的必考科目，考生還須從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．若一名學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生的選考方案確定；否則，稱該學生的選考方案待確定．例如，學生甲選擇了物理、化學和生物三個選考科目，則學生甲的選考方案確定，“物理、化學和生物”為其選考方案．某學校為了解高一年級420 名學生選考科目的意向，隨機選取30 名學生進行了一次調查，統計選考科目人數如下表：

性別 選考方案確定情況 物理 化學 生物 歷史 地理政治選考方案確定的有8 人 8 8 4 2 1 1男生選考方案待確定的有6 人 4 3 0 1 0 0選考方案確定的有10 人 8 9 6 3 3 1女生選考方案待確定的有6 人 5 4 1 0 0 1

（Ⅰ）估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少名．

（Ⅱ）假設男生、女生選擇選考科目是相互獨立的．從選考方案確定的8 名男生中隨機選出1 名，從選考方案確定的10 名女生中隨機選出1 名，試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率．

（Ⅲ）從選考方案確定的8 名男生中隨機選出2 名，設隨機變量求ξ 的分布列及數學期望E（ξ）．

答案:（Ⅰ）140 名．（Ⅱ）

（Ⅲ）ξ 的分布列為