淺談特征值與特征向量的應(yīng)用

◎王亞峰 馮文爽 （河北大學(xué)，河北 保定 071000）

一、振動理論

振動理論可應(yīng)用于實際工程的諸多領(lǐng)域，此部分主要對多自由度振動系統(tǒng)的簡單求解過程展開討論，過程中涉及矩陣的特征值與特征向量問題，并簡單闡述其實際意義．

無阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動方程如下（n 為自由度）：

矩陣形式為

其中，

它們分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、位移矢量和加速度矢量．

設(shè)n 自由度系統(tǒng)運動微分方程①的特解為

將③代入②，化簡可得

此式定義了一個n 維廣義特征值問題，將其改寫為標準特征值問題，即

于是可得系統(tǒng)的特征方程：

則可求出特征值λ 或ω，ω 稱為固有頻率或自然頻率（單位：rad／s），A 為特征向量或模態(tài)向量，也稱為主振型．

求解特征方程，可求出n 個特征值，將它們按大小順序排列為λ1≥λ2≥λ3≥…≥λr≥…≥λn-1≥λn，

相應(yīng)的固有頻率為

0≤ω1≤ω2≤ω3≤…≤ωr≤…≤ωn-1≤ωn，

其中，ωr稱為系統(tǒng)的第r 階固有頻率，最大特征值λ1對應(yīng)的最小頻率ω1稱為第一階固有頻率或基頻，這是在工程系統(tǒng)應(yīng)用中最重要的固有頻率．

將ωr代入④或⑤即可得到第r 階模態(tài)向量A（r），即第r階主振型．

【例1】如圖1 所示的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，若m1＝m2＝m3＝m，k1＝k2＝k3＝k，求其各階固有頻率和主振型．

解受力分析如圖2 所示．

圖1

圖2

分別建立m1，m2，m3的動力學(xué)方程：

質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為

動力矩陣為

故特征值問題為

解特征方程可得特征值

注：由于特征向量只取決于各個向量間的比例，與絕對尺寸無關(guān)，故以上結(jié)果人為地選定

二、主成分分析

在實際應(yīng)用中，解決某一問題通常涉及很多變量，增加了計算的復(fù)雜程度，而且有可能因為個別變量的極端情況而使整體的一般性規(guī)律發(fā)生偏移．因此，我們希望能夠從數(shù)據(jù)中提取最主要的信息，使用舊變量的線性組合構(gòu)造新變量，使高維數(shù)據(jù)投影為低維數(shù)據(jù)．主成分分析就是一種常用的降維手段，如下面的兩個實例（圖3，圖4）．

圖3 二維降至一維

圖4 三維降至二維

下面借助圖3 來說明主成分分析的原理．主成分分析指選取一組數(shù)的共性的主要部分，忽略次要的不重要部分．圖中數(shù)據(jù)大致沿斜線分布，若將數(shù)據(jù)投影到斜線上，數(shù)據(jù)分散度最大，即方差最大，最能體現(xiàn)數(shù)據(jù)間的主要差異．若用（x11，x21）表示原始數(shù)據(jù)，則新變量z ＝ax11＋bx21＋c（a，b，c∈R）．這就是降維后的結(jié)果，我們要做的就是找到這樣一種投影變換，使新變量的方差最大，將z 稱為第一主成分．對于更高維的數(shù)據(jù)，我們可能需要多個主成分，并且主成分之間兩兩正交．

下面求解這一過程：待研究數(shù)據(jù)表示為矩陣X∈Rn×d，目標是將d 維數(shù)據(jù)提取其主成分轉(zhuǎn)為d′維．

其中，n 為樣本數(shù)，d 為維度，每行為一個樣本，每列為一個維度（即一個變量），為第i 個樣本．

數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣如下：

這里假定樣本矩陣已經(jīng)中心化（即每一維度上的均值為0），未中心化時該式不成立．注意：協(xié)方差矩陣∑半正定且對稱，故∑＝∑T，且∑的特征值都是非負數(shù)．

在主成分分析中我們希望數(shù)據(jù)投影的方差最大，使用線性變換g1，將X 投影到一維空間后，新的數(shù)據(jù)表示為Xg1，對應(yīng)方差為

求解g1可得X 投影到Xg1，得X 的第一主成分．

求解第i 主成分時，即求解問題

設(shè)協(xié)方差矩陣的特征值為λ1≥λ2≥λ3≥…≥λd＞0，這里的g1是∑最大特征值對應(yīng)的特征向量，g2是∑第二大特征值對應(yīng)的特征向量，gi是∑第i 大特征值對應(yīng)的特征向量．這里不做證明．

可見，求解主成分就轉(zhuǎn)化為求解∑的特征向量問題，即投影矩陣G＝（g1，g2，…，gd′），這里要注意的是特征值λi在主成分分析中的實際意義，即某一主成分占總體數(shù)據(jù)的“比重”． 第i 個主成分的“比重” 為前i 個主成分的“比重” 為

【例2】對于給定的樣本，進行主成分分析，降至一維．

解顯然待研究數(shù)據(jù)是4 組二維樣本，n ＝4，d ＝2，目標維數(shù)d′＝1．

①對樣本X 進行中心化，得

②計算協(xié)方差矩陣：

③計算協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量：

λ1＝4．5467，對應(yīng)的特征向量為

λ2＝0．0367，對應(yīng)的特征向量為

④根據(jù)要求取前d′個最大的特征值對應(yīng)的特征向量，

這里d′＝1，并且λ1＞λ2，故我們?nèi)＝g1．

⑤將樣本通過投影矩陣G 進行降維，可得結(jié)果