基于APOS 理論的指數函數概念教學設計

◎陳 麗 （貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550001）

一、APOS 理論的概念

APOS 理論是由美國的杜賓斯等人在數學教育與研究實踐中發展起來的．杜賓斯等人認為學生學習數學概念時，需要經歷四個心理建構過程，依次是操作、過程、對象、概型．［1］APOS 理論的四個階段，每一個階段對學生概念的獲得都具有不同的意義，因此在運用APOS 理論時不可逾越．APOS 理論最初僅用于大學數學教育，現在在小學和中學的數學概念教學中也得到了越來越廣泛的應用．

二、基于APOS 理論的指數函數的概念教學

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》中對指數函數的概念的學習要求是“通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念［2］”．學生在學習指數函數的概念時常出現對指數函數的定義、符號、底數的限制條件不理解，以及對學習目標不明確，從而會在心理上對指數函數的學習產生抵觸和厭學等情況．［3］因此，在數學課堂教學中，教師要注意學生的現有知識經驗和認知發展方向，結合實際生活的需要講解指數函數的知識．在教學當中，教師應以學生為主體，讓學生主動探究、理解和掌握指數函數的概念．結合杜賓斯等人提出的APOS 理論，在指數函數及其性質一節中，“操作”階段（Action）是學生通過操作來感知事物，理解所學習內容的意義．學生通過操作，對指數函數會有一定的感性認識，理解指數函數的意義．在這一階段，教師要向學生提供符合指數函數的概念學習的材料或者情景動畫，設計適合學生探究指數函數概念的數學活動，為歸納、概括指數函數的概念提供固著點．“過程”階段（Process）是學生把“操作”階段中的操作感受進一步內化壓縮的過程．學生通過對數學活動的思考、分析、比較、抽象，得到指數函數的概念．在這一階段，教師要適當地利用問題驅動啟發學生思考，對指數函數的概念進行辨析，并用嚴謹和符合邏輯的數學語言準確地表述出指數函數的定義、符號及指數函數的定義域．［4］“對象”階段（Object）是對“過程”階段的進一步提升，讓指數函數成為一個具體的對象．在這一階段，教師應謹慎引導學生在動手操作、觀察和分析、總結中得到指數函數的性質，讓學生對指數函數的理解逐漸上升到“概型”階段．到了“概型”階段（Scheme），在學生的頭腦中指數函數的概念和性質將以一種綜合的圖式呈現，并在學生的數學知識體系中占據獨特的位置．［5］在這一階段，學生對指數函數的概念有較為完整的認知結構或認知框架．在“概型”階段，教師可利用例題，讓學生通過練習豐富對指數函數概念的理解，幫助學生形成指數函數概念的圖式．

APOS 理論反映的是由特殊的實例或者情境到一般的數學概念的過程．APOS 理論下的數學概念的教學是讓學生勇于探索未知的領域，讓學生在思考、探究、合作的模式中經歷知識的發生過程，最終得到數學概念．它體現了課程改革中對學生學習的精神要求．APOS 理論的提出在一定程度上使傳統的“填鴨式”教學的現狀有所改變．

三、指數函數及其性質的相關分析

1．教學內容

本節課的教學內容選自普通高中課程標準實驗教科書人教A 版數學必修1．

2．教材分析

指數函數是基本初等函數之一．指數函數的概念與性質的研究是對函數的概念與性質的相關內容的深化，也為學生接下來學習指數函數的性質以及對數函數、冪函數、三角函數等內容提供了知識基礎．指數函數與現實生活息息相關，但是在教材中對指數函數定義的介紹相對簡單．

3．學情分析

知識儲備方面：學生在學習指數函數之前，在初中階段對函數有了一定的認識，有一次函數、二次函數學習的直接經驗和在必修1 中對函數的概念和性質的深入學習，已經經歷了高中關于函數概念的研究流程，熟悉了研究框架，對指數取值范圍的擴充也有一定的了解；能力方面：學生具有一定的合作交流、活動探究、反思質疑的能力，有一定的猜想、推理和歸納的能力．

4．教學目標

（1）理解指數函數的概念與意義，會畫指數函數的圖像，掌握指數函數的性質并會運用．

（2）了解指數函數模型的實際背景，認識數學與現實生活的聯系．

（3）在學習指數函數及其性質的過程中體會研究函數的一般流程和方法．

5．教學重難點

重點：掌握指數函數的性質；

難點：推導指數函數的性質．

四、基于APOS 理論的指數函數概念教學設計

1．“操作”階段（Action）——創設情境，探索概念

引例1：通過動畫演示引入，《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”［6］

問題1：

（1）在第x 次取后，寫出木棍的剩留量y 與x 的關系式．

（2）這個變化過程中，如何用x 來表示y 呢？

【設計意圖】通過動畫演示引入，幫助學生從現實生活中分析得到指數函數模型．學生由每一次取了之后剩下的量和次數的關系歸納總結，不難發現第x 次取時剩下的量y與x 的關系式為學生在操作中切實體會變量之間的關系，建立對指數函數的概念的理解．

引例2：一位富翁對他的兒子說：“我會直接給你10 萬元，但你須要承擔一定的任務：從今天開始，第一天給我2元，第二天給我4 元，第三天給我8 元，第四天給我16 元．依此類推，假設我想簽訂一個15 天的合同，你同意嗎？ 假設我要和你簽訂一個30 天的合同，你簽嗎？ 在第x 天你應給我多少元錢？”

【設計意圖】學生在引例中發現問題，思考給出的錢y和時間x 的數量關系，通過歸納得出第x 天需要給出的錢y與x 的關系式為y＝2x（x∈N）．在討論交流、歸納、抽象共性的情況下，學生將經歷從簡單到復雜、從特殊到一般的過程，體會指數函數是現實生活中的一種有效的數學模型．

2．“過程”階段（Process）——梳理特征，概括概念

問題2：在上面的兩個引例中得到了兩個關系式y ＝2x它們是不是函數表達式？

【設計意圖】教師引導學生觀察表達式，通過分析引例1 中得到的表達式和引例2 中得到的表達式y＝2x（x∈N），結合函數的定義思考，學生很容易得出結論．

問題3：這兩個函數表達式有什么共同特征？

【設計意圖】學生通過觀察分析這兩個函數表達式的特點，從整體上體驗指數函數的一般特征．

學生活動：這個函數是我們學習過的函數嗎？

【設計意圖】學生不斷比較這兩個函數表達式與已經學習過的函數表達式，很容易得出：這兩個函數表達式與已經學習過的函數表達式不同．［7］

學生活動：寫出這個新函數的一般表達式．

問題4：請同學們發揮自己的想象力，聯系這個新函數的特征，給它取一個合適的名字．

【設計意圖】讓學生發揮想象力，聯系已經學習過的函數的名稱，經歷給函數取名的過程，降低學生對新知識的陌生程度，從而輕松得到指數函數的定義．

問題5：指數函數y＝ax中的底數a 取任何數都可以嗎？

教師引導學生對底數a 的討論分為三個部分進行：

（1）若a＜0 會有什么問題？

（2）若a＝0 會有什么問題？

（3）若a＝1 又會怎么樣？

學生活動：小組討論．

（2）若a＝0，x＞0 時，ax＝0；x≤0 時，ax無意義．

（3）若a＝1，ax＝1x＝1 是常量，沒有研究的必要．

【設計意圖】教師引導學生取特殊值討論每種情況，體會為什么要規定a＞0 且a≠1，理解底數的取值屬于特殊的規定，深刻理解指數函數的定義，并為接下來學習指數函數的性質打下基礎．

問題6：指數函數y＝ax中，x∈R 都有意義嗎？

指數函數的定義：一般地，函數y ＝ax（a＞0 且a≠1）叫作指數函數，定義域為R．

【設計意圖】學生在交流討論歸納出共同特征的基礎上，深入分析指數函數的概念中的底數a，發現當x 取正數、負數或0 時都有對應的函數值，總結概括出指數函數的具體概念，將指數函數看成一個獨立的整體進行研究．

3． “對象”階段（Object）——辨析特征，鞏固概念

例1結合指數函數的定義，判斷下列函數是否為指數函數．

【設計意圖】通過練習，運用指數函數的定義解決問題，區別指數函數和二次函數的不同，深入理解指數函數的概念．［8］

學生活動：指數函數的性質探究．

【設計意圖】讓學生通過作圖探究指數函數的性質，鞏固畫函數圖像的步驟及方法，引導學生從具體的函數圖像出發，觀察歸納對底數的分類討論的思維方式，讓學生從整體上強化對指數函數的圖像的認識．

4．“概型”階段（Scheme）——練習鞏固，形成結構

例2已知指數函數f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）的圖像經過點（3，π），求f（0）， f（1）， f（-3）的值．

例3比較下列各題中的兩個值的大小．

（1）1．72．5，1．73（2）0．8-0．1，0．8-0．2

（3）1．73，0．93

【設計意圖】引導學生在解決問題的過程中逐漸完善指數函數的概念、圖像、性質的綜合圖式．

五、教學建議

在本節課的設計中，通過兩個引例，讓學生經歷“操作”階段，理解指數函數的意義；再經歷“過程”階段，將第一階段的操作過程綜合，得到對指數函數的概念的初步認識，辨析底數a 的取值，得到指數函數的概念；在“對象”階段，將指數函數看成一個獨立的對象，探究指數函數的性質；最后在“概型”階段，通過適當的練習，引導學生將指數函數模型運用到實際生活中．

APOS 理論的四個階段是循序漸進的過程，每個階段對學生概念的獲得都具有不同的意義．數學知識體系是學生在學習過程中逐漸建構起來的，因此教師在教學中要聯系學生已有的知識，設計適當的教學過程，引導學生主動建構數學概念．