基于APOS 理論下的高中數(shù)學概念教學研究
——以“直線與平面垂直的判定”概念教學為例

◎俞文銳 （福建省福清華僑中學，福建 福清 350300）

數(shù)學概念是學生數(shù)學學習的基礎(chǔ)和邏輯起點，是發(fā)展學生高階思維的必要條件，但在實際教學中師生過分注重與成績密切相關(guān)的技能訓練，往往忽略了數(shù)學概念的教學，而APOS 理論是描述概念形成過程的模型，能夠為學生深入理解概念提供新的方法，并不斷幫助學生感知概念、建立自己的圖示，因此，以APOS 理論為指導，探究學生對數(shù)學概念的內(nèi)化過程具有重要的意義．

一、APOS 理論下的高中數(shù)學概念教學程序

1．操作階段

該階段主要是讓學生體驗實例，將操作過程內(nèi)化為一個整體，初步形成新的感性認知．在具體教學實踐中，教師應通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，引導學生聯(lián)想已有的心理圖式，明確所學概念有哪些具體應用，引發(fā)學生產(chǎn)生認知沖突，初步形成新的認識．同時，教師還應呈現(xiàn)必要的數(shù)量計算，為學生抽象出對事物的認識奠定基礎(chǔ)．

2．過程階段

該階段主要任務是，引導學生將新知識納入自己的知識圖式，不斷發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、總結(jié)出概念的定義．在具體教學實踐中，教師應不斷啟發(fā)引導、提出問題，使學生根據(jù)操作階段的認知沖突多角度地感知概念，最終抽象形成概念，并將其形式化和符號化．

3．對象階段

該階段主要是讓學生界定概念、認識定義的本質(zhì)屬性，形成對概念的整體認識．在具體教學實踐中，教師應設(shè)置模仿練習、列舉正反例、變式練習等題目，以對過程階段抽象出的概念表述加以矯正，進一步規(guī)范形成表述簡練、準確的概念，形成本階段的知識結(jié)構(gòu)，并且，還要進一步界定概念的內(nèi)涵和外延，得到相關(guān)的性質(zhì)．

4．圖式階段

形成數(shù)學概念的綜合圖式是該階段的主要任務．在具體教學實踐中，教師應引導學生聯(lián)系自己已有的符號、圖形、規(guī)則以及知識并不斷反思，總結(jié)所學內(nèi)容，從而建立穩(wěn)定的認知框架，從系統(tǒng)上整體把握概念的本質(zhì)．

二、APOS 理論下的高中數(shù)學概念教學實踐

APOS 理論下的高中數(shù)學概念教學是一個理論聯(lián)系實際的過程，而高中立體幾何沒有點、線、面這樣純粹的概念，所要學習的概念具有高度的直觀形象性、嚴謹?shù)膶哟涡浴⒖刹僮髂M性等特征，常常是課堂上好像聽懂了，但面對一道立體幾何題目時卻無從著手．立體幾何的學習能使學生享受立體幾何所帶來的美感，能夠培養(yǎng)學生多角度觀察周圍世界的習慣．下面以高中立體幾何中“直線與平面垂直的判定”概念為例，深入探究APOS 理論下的高中數(shù)學概念教學策略．

1．概念教學的起點——觀察歸納

對于直線和平面垂直的位置關(guān)系的教學，教師應合理恰當?shù)貫閷W生提供概念的感性素材、實物模型、直觀背景等，不斷創(chuàng)設(shè)學習情境．例如，教師利用幻燈片的形式呈現(xiàn)了旗桿與地面、橋柱與水面的圖片，要求學生仔細觀察圖片中事物之間的位置關(guān)系，并以此為契機，要求學生以日常生活場景為例，列舉出教學樓大廳頂梁柱與地面、講臺上放置的水杯與講臺面等的位置關(guān)系．同時，引導學生應用“平面化”思想將空間中直線與平面的垂直加以轉(zhuǎn)化，使之成為空間中直線與直線垂直的問題，并以不同時間點太陽照射下電線桿的影子為例，抽象出圖形，如圖1 所示，要求學生思考AB 與BC，AB 與B′C′之間的關(guān)系．

圖1

2．概念學習的反思——總結(jié)反思

為加深學生對所學概念的理解，教師應及時組織以“如何定義一條直線與一個平面垂直”為主題進行討論，并根據(jù)學生討論情況及時給予補充．然后教師要求學生反復觀察圖1 中的情形，并以“無數(shù)條”還是“任意一條”為關(guān)鍵，要求學生自己思考，從而分析得出直線與平面垂直的特征．然后呈現(xiàn)出以下命題讓學生判斷：

（1）若l⊥α，則直線l 垂直于平面α 內(nèi)的任意一條直線．

（2）若直線l 垂直于平面α 內(nèi)的無數(shù)條直線，則l⊥α．

要求學生通過反例的形式，對命題（2）進行深入思考．

3．概念學習的整合——新知再探

為了切實讓學生尋找到具有可操作性的判定方法，充分感受思維的魅力，體現(xiàn)“有限”與“無限”之間的辯證關(guān)系，教師應根據(jù)學生對“直線與平面垂直的判定”概念的掌握程度，因地制宜循循提問，例如，根據(jù)定義，是不是證明直線l 與平面α 垂直必須要證明l 與平面α 內(nèi)所有直線垂直，并呈現(xiàn)出生活中直線與平面垂直的照片，引導學生得出若直線l 與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則能完全證明這條直線l 與平面垂直．然后，以生活中的折紙試驗為例，讓學生拿出一張三角形紙片，探究如何將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，如圖2 所示，思考為什么當且僅當折痕AD 是BC 邊上的高時，才能不偏不倚豎直放置在桌面上，引導學生分析其他翻折“不垂直”的原因，并及時組織學生回顧“兩條相交直線確定一個平面” 的知識，推理出若一條直線l 垂直于平面 α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥α，也就是

圖2

4．概念學習的提高——應用與發(fā)散

在概念學習的提高環(huán)節(jié)，教師可設(shè)計如下練習：

（1）如圖3 所示，已知a∥b，a⊥α，求證b⊥α．

圖3

（2）如圖4 所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1為例，試列舉出與平面ABCD 垂直的直線．

圖4

（3）如圖5 所示，在三棱錐V-ABC 中，VA＝VC，AB ＝BC，K 為AC 的中點，求證AC⊥平面VKB．

圖5

同時，以本次學習的收獲為主題，要求學生自我總結(jié)，并隨機邀請學生反饋總結(jié)情況，不斷補充和完善學生的知識結(jié)構(gòu)，最后，以圖示的形式呈現(xiàn)出知識結(jié)構(gòu)圖，如圖6所示．

圖6 “直線與平面垂直的判定”概念圖示

總之，概念是知識學習的邏輯起點，而基于APOS 理論下的高中數(shù)學概念教學符合學生的認知發(fā)展水平，能夠按照APOS 理論下的四個階段所蘊含的內(nèi)在邏輯關(guān)系，逐步揭示出概念的本質(zhì)，全面凸顯出學生的主體性和能動性，但圖示的形成絕非一朝一夕，需要教師大力引導并長期幫助學生建構(gòu)概念圖示．只有這樣，學生才能更好地掌握所要學習的概念，才能不斷提高對數(shù)學概念的應用意識．