用問題結構推進高中數學課堂教學

◎朱孟瀅 （江蘇大學教師教育學院，江蘇 鎮江 212013）

著名的教育心理學家布魯納曾經說過，“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動”．美國數學家哈爾莫斯也曾說過，“問題是數學的心臟”．這句話揭示了數學這門學問幾千年來生生不息、發展不止、生命力無限的實質，得到了數學界的一致認同．可見，數學的發展離不開問題．數學研究首先要提出一個問題（研究問題的一般方法）．當學生開始學習數學新知識的時候，就進入了數學的一個未知領域，實質上也是開始一種數學研究，那么作為數學的新授課教學，同樣也是首先要提出一個問題，這個引領新授課教學的問題可以被稱為“目標問題”，然后圍繞這個目標問題展開研究活動．有了目標問題，一節課的數學活動就有了明確的目標．數學教學活動就是教師從學生的最近發展區出發，正確地引導學生探索新知，將未知轉化為已知的這樣一個活動．所以從本質上說，數學教學活動是一種研究數學問題的活動．在高中數學的教學過程中，要真正教會學生思考，就要求教師在進行課堂教學設計時做到課堂問題結構化，用問題結構推進教學．

問題結構是數學知識結構的表現形式．問題結構化是以構成思維導向的問題為主線，以發現問題——解決問題——再發現問題——再解決問題為全過程．數學課堂教學中，每一節新授課都要去解決一個目標問題．所謂的目標問題就是與本節課主要教學內容有關的基本問題．目標問題的提出有助于幫助學生認識到為什么要學習這個數學新概念、新方法，說明正是要解決這個問題才產生了今天要學習的這個數學概念，這個解題方法，從而激起學生的求知欲，激發學生的學習興趣、學習熱情．提出一個目標問題，為了解決它就很可能要提出一系列的子問題．每解決一個子問題就向著目標問題的解決前進了一步，全部問題解決了，那個目標問題就解決了，這樣就形成了問題導向、形成結構、環環相扣、逐個解決、層層推進的過程．

下面以高中數學教學的兩個案例中的問題結構為例，展示如何設計問題結構，從而實現“用問題結構推進教學”．

案例一：任意角的三角函數．

（1）什么叫函數？

（2）在初中，我們在直角三角形中對銳角的正、余弦以及正切這幾個三角函數進行了學習．回憶一下：這些三角函數各是怎樣定義的？

（3）對于確定的銳角，它的正弦、余弦、正切值會不會隨“斜邊”的變化而變化？

（4）我們已將角的概念由銳角推廣到了任意角，那么三角函數的概念是否也能推廣到任意角呢？

（5）在對角的概念進行推廣時，我們是把角放在哪里來研究的呢？

（6）你能把剛才的直角三角形放到直角坐標系中，用坐標表示銳角的正弦、余弦、正切值嗎？

（7）如下圖，對于確定的角α，若點P 在終邊上的位置改變了，這三個比值也會改變嗎？ 為什么？

（8）銳角的終邊在第一象限，那么終邊在第一象限的角的三角函數如何定義？

（9）任意角的三角函數值該如何定義呢？

（10）既然對于給定的角，其三角函數值與點P 在終邊上的位置無關，那么大家有沒有辦法讓所得到的定義形式變得更簡單一點呢？

（11）當角的大小發生變化時，單位圓上的點的坐標或坐標的比值會改變嗎？

（12）我們已經知道角的終邊的位置決定了角的三角函數值，那么角的終邊旋轉一周，角的大小如何變化？ 其三角函數值又如何變化？

（13）你能否給出正弦、余弦、正切函數在弧度制下的定義域？

（14）你能用函數的概念對任意角的三角函數的定義進行完整的闡述嗎？

此案例的問題結構中，問題是按照一定的邏輯聯系構成序列的，對課堂教學的推進具有思維導向作用．

問題（1）到問題（2）存在邏輯聯系和問題導向．問題（1）引導學生對函數的概念進行回顧，問題（2）引導學生復習初中所學的三角函數定義．由函數到三角函數是由一般到特殊、由共性到個性的關系．學生在掌握函數概念的基礎上再學習三角函數，實際上是從一般到特殊的演繹過程，亦是用具體函數來豐富函數概念的過程．這里讓學生回想函數的概念，是為了明確函數概念的本質，在認知上為學習任意角的三角函數概念做好準備．

在問題（1）的基礎上，問題（2）和問題（3）帶領學生進一步體會到初中所學的銳角三角函數是一種特殊的函數．此外，問題（2）和問題（3）的設計由學生已有的認知出發，帶領學生有針對性地復習銳角三角函數，為下面三角函數的定義由銳角擴展到任意角做好鋪墊．

通過本章前一節“任意角、弧度制”內容的學習，角的概念已經推廣到任意角．那么，從思維的角度出發，學生順理成章地會想到“三角函數的概念也要進行擴展，銳角三角函數的概念是否也能推廣到任意角”這個問題．至此，這節課的目標問題就提出來了．目標問題提出來了，就得尋找解決問題的方案．如何尋找，從方法論的角度來講，人類解決問題都是從已知去探求未知，去聯系過去有沒有類似的問題，于是，問題（5）到（9）就應運而生．這五個問題之間的邏輯聯系和思維導向關系是顯而易見的：在直角坐標系中研究任意角→用坐標表示銳角的三角函數值→用坐標表示第一象限角的三角函數值→用坐標表示任意角的三角函數值．這種由特殊到一般的思想很重要．為了順利實現推廣，可以構建中間橋梁，使之與前面所學知識相結合，自然轉化到任意角的情形，這是正確理解任意角三角函數概念至關重要的一步，也是數學發現的重要思想方法．培養學生的遷移能力，能夠幫助學生為之后的學習中對知識的推廣拓展奠定基礎．

問題（10）是為引入單位圓而設計的．教師引導學生對所提問題進行討論時，也可以設置以下幾個小問題來啟發學生：我們是用什么來定義1 弧度角的？ 其與圓的半徑大小有關嗎？ 那么，為了使定義更簡單，讓圓的半徑多大比較好呢？ 在此基礎上，進一步提出問題（11），能夠幫助學生更好地理解三角函數值和單位圓與角的終邊交點之間的對應關系．這個時候緊接著提出問題（12），學生就很容易理解和回答了．這樣做的目的是引導學生更好地理解三角函數的變化規律，并在此基礎上順理成章地引出第一組誘導公式，突出三角函數呈周期性變化的特征．

問題（13）是為了引導學生在得出定義的基礎上求三角函數的定義域，對三角函數的概念進行了完善，加深了學生對三角函數的概念的理解．問題（7）到問題（14）緊扣函數概念的本質，強調變量之間的對應關系，與問題（1）遙相呼應，是從函數知識演繹到三角函數知識的重要依據，從而幫助學生正確理解三角函數的概念，把三角函數知識納入函數的知識結構，增強學生的函數觀念．

案例二：

（1）設A 點和B 點分別在河的兩岸，現要測量A，B 之間的距離是多少．測量者在A 點所在一側的河岸邊取一點C，測出A，C 之間的距離為55 m，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝45°，請由此求出A，B 間的距離．——數學化為“任務一：尋找三角形的邊角關系．”

（2）直角三角形中存在怎樣的邊角數量關系？

（3）其他三角形中是否也存在類似的關系？

（4）你能否大膽地做出合理的猜想？

（5）如何證明猜想？ ——進而呈現“任務二：證明猜想．”

（6）分析正弦定理的表達式，利用正弦定理解三角形需要知道三角形的哪些元素？

（7） 你會用正弦定理求解A，B 兩點之間的距離嗎？ ——進而進入“任務三：小定理大應用”．

由上述7 個問題構成的問題結構揭示了正弦定理的發現、證明和應用的主要過程，將正弦定理的教學層層推進．該問題的設計體現了數學教學是數學活動教學的思想，圍繞定理的三個要素，問題結構化為7 個子問題，步步為營，環環相扣，導向清晰，目標明確．

每節課的首要任務是提出本節課要研究的問題，這一點十分重要．在處理問題（1）時，教師可以引導學生將實際問題轉化為數學模型：在△ABC 中，已知∠A，∠C 的大小以及一邊AC 的長度，求另一邊AB 的長，即：已知三角形的兩個角和一邊，求其他的邊．這可以使學生明白數學知識總是從問題開始的，從而明白本節課學習的目的．問題提出后，接下來就要解決問題．問題（2）引導學生回憶直角三角形中的邊角關系，在此基礎上引導學生思考問題（3），（4），（5）．在證明猜想的過程中，教師引導學生分類討論，分別按最大角是銳角和鈍角來研究，然后按照將未知轉化為已知的研究思路，化斜為直——構造直角三角形來證明．通過猜想和證明得到了正弦定理，接下來自然要研究這個定理可以解決哪些問題．問題（6）引導學生從方程的角度對正弦定理進行分析，確定在解三角形問題中正弦定理的適用范圍，進而提出問題（7）．至此已經得出正弦定理以及運用正弦定理所能解決的問題，所以再回過頭來探究本節課一開始提出的實際問題如何解決，學以致用，讓學生在問題的解決中體會到學習的樂趣，激發學生學習的興趣．

通過以上兩個案例可以看出，用以推進教學的問題結構是具有思維導向和一定邏輯聯系的問題結構，旨在教會學生提出問題，建構概念，尋找思路，研究問題的一般方法．問題結構不同于一般意義的“問題串”，“問題串”可以是毫無關聯的一串問題，而問題結構是數學知識結構的表現形式，問題結構化是以構成思維導向的問題為主線，以“問題——解決——問題——解決……”的問題導向結構推進教學過程的進行．