巧求解，妙拓展
——一道江蘇模擬三元最值題的拓展

◎袁文娟 （江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校，江蘇 張家港 215600）

在近些年的高考模擬題、高考題與數(shù)學(xué)競賽題中，經(jīng)常會有求解雙變元或多變元的代數(shù)式的最值（最大值或最小值）或取值范圍的問題．此類問題往往非常新穎，難度幅度較大，思維方式多變，破解方法多樣．著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G．波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應(yīng)該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的．”下面筆者結(jié)合一道江蘇模擬卷中的三變元最值題來加以實例剖析，結(jié)合多思維角度的切入，從而正確破解，并在此題的基礎(chǔ)上深入挖掘，變式拓展，以達到“觸類旁通”“一題多變”“一題多解”的良好效果．

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2018 屆江蘇省金陵中學(xué)、海門中學(xué)、南師附中三校高三數(shù)學(xué)第四次模擬·13）已知正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則的最小值是．

此題是涉及已知代數(shù)關(guān)系式條件下的三變元代數(shù)式的最值題，條件簡潔，字母變化大，沒有規(guī)律性，給解題帶來不少難度．破解該問題的基本的思維方向就是通過已知關(guān)系式加以轉(zhuǎn)化，利用基本不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式等方法加以處理，其中離不開基本不等式、不等式的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．

二、問題破解

思維角度1：基本不等式思維．

解法1：（基本不等式法）由正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x ＝y(tǒng)時等號成立，進而可得

思維角度2：柯西不等式思維．

解法2：（柯西不等式法）由正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x ＝y(tǒng)時等號成立，則有

思維角度3：權(quán)方和不等式思維．

解法3：（權(quán)方和不等式法）由正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x ＝y(tǒng)時等號成立，進而可得

思維角度4：導(dǎo)數(shù)思維．

解法4：（導(dǎo)數(shù)法）由正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x ＝y(tǒng)時等號成立，進而可得則有

點評：解決本題主要是利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)對其加以轉(zhuǎn)化，差別是如何對三變元加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進而達到確定最值的目的．這里多次利用了基本不等式，以及柯西不等式、權(quán)方和不等式等加以巧妙轉(zhuǎn)化，從而得以確定最值．利用導(dǎo)數(shù)思維的轉(zhuǎn)化也是破解此類問題比較常見的一類方法技巧，運用這種方法的關(guān)鍵是合理消元，巧妙地構(gòu)造函數(shù)．

三、變式拓展

變式方向1：保留題目中三變元之間的限制條件，改變原來求解的結(jié)論形式為求解三變元的一次代數(shù)式的最值問題，從而得到變式拓展?

【變式1】已知正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則S ＝x＋2y＋2z 的最大值是

解析：由于正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，

根據(jù)柯西不等式有9＝（1＋4＋4）（x2＋y2＋z2）≥（x＋2y＋2z）2，則有S＝x＋2y＋2z≤3，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以S＝x＋2y＋2z 的最大值是3，故填答案：3．

點評：如果進一步改變一次代數(shù)式的對應(yīng)系數(shù)，那么通過柯西不等式的應(yīng)用，以及變式1 的解析過程，可以得到其他相關(guān)的三變元的一次代數(shù)式（例如，S ＝mx＋ny＋pz，其中m，n，p 為正數(shù)）的最值問題．

變式方向2：保留題目中三變元之間的限制條件，改變原來求解的結(jié)論形式為求解三變元的分式和的代數(shù)式的最值問題，從而得到變式拓展?

【變式2】已知正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則的最小值是．

解法1：（柯西不等式法）由于正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，根據(jù)柯西不等式有當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是36，故填答案：36．

點評：通過條件的等價變換，結(jié)合分式的特征有效聯(lián)想到柯西不等式的特征與規(guī)律，借助柯西不等式的合理轉(zhuǎn)化，從而得以破解三變元的分式和的代數(shù)式的最值問題．當(dāng)然，也可以通過關(guān)系式的展開，利用基本不等式來求解，只是過程較為煩瑣，運算量大．

變式方向3：保留題目中三變元之間的限制條件，改變原來求解的結(jié)論形式為求解三變元的分子為1 的高次分式代數(shù)式的最值問題，從而得到變式拓展?

【變式3】已知正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則的最小值是．

解析：（整體思想）由正數(shù)x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，

點評：根據(jù)條件，借助基本不等式以及不等式的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，從而得以破解更為復(fù)雜的高次分式代數(shù)式的最值問題．

四、解后反思

本文通過對模擬試卷中三變元最值問題的分析，多思維切入的“一題多解”，以及在此基礎(chǔ)上的變式、拓展與應(yīng)用，使得學(xué)生在破解三變元最值問題的基礎(chǔ)上進一步深入探究，達到解一組數(shù)學(xué)題、一類數(shù)學(xué)題的目的，復(fù)習(xí)總結(jié)了數(shù)學(xué)知識，理解掌握了相關(guān)方法，提升了數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣做出有益的嘗試．美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”．對于學(xué)生來說，如何確定解題思維，把問題歸結(jié)到同一個熟悉的“問題”來處理是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．