初中數學“隱圓”助力解題的探究

◎羅成忠 （清流縣教師進修學校，福建 三明 365300）

按義務教育階段《數學課程標準（2011 年版）》要求，“圓”這章節均安排在了九年級下冊，這符合學生的認知規律和心理特征，體現了初中數學特別是“圖形與幾何”知識的高度融合，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，認識圓這部分知識的內在、外在聯系，思考數形結合、函數對代數、幾何知識的作用，不斷揭示數學的多樣性和統一性，充分體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程，因而“圓”是初中數學中最重要的知識之一．

一、問題引出

引例：（2018·福建南平九下質檢）如圖1，在四邊形ABCD 中，AB ∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，則AC＝．

圖1

從表面看，本引例似乎與圓無關，學生看到題目時，也不知從何下手，但我們從AB ＝BC ＝BD觀察，發現都和點B 有關，聯想“到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形是什么？”就能深挖題目中隱含的條件，巧妙地構造符合題意特征的輔助圓（如圖2），通過勾股定理，可得問題便迎刃而解了．

圖2

在近幾年的中考數學試題中，有些題目入手較難，得分率很低，一些知識點比較隱蔽，往往隱含在一些題目中間，讓人不太容易發現，以至于簡單的知識考查卻變成了難點．分析其原因不難發現，學生對題目的本質沒有搞清楚，沒有顯性的圓，但是仔細分析題目的條件，如果能夠成功地發現這些隱性的圓，難點就會被突破，達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果，對問題的解決起著重要的作用．

二、知識儲備

1．圓的有關概念：如圖3．

（1）圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長r；

（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．

2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧．

圖3

3．圓周角和圓心角的關系：圓周角的度數等于它所對弧的圓心角度數的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等．

4．圓周角定理及其推論：圓周角的度數等于它所對弧的圓心角度數的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．

5．切線的性質和判定：圓的切線垂直于過切點的半徑；過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

三、巧用“隱圓”概念,求解邊角問題

圓的概念— —到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．

“兩定”是我們發現“隱圓”的關鍵，其模型是共端點、等線段模型（共點＋等長模型），如在引例中解決求邊的問題．

例如，如圖4，四邊形ABCD 中，AB＝AC ＝AD，若∠CBD ＝2 ∠BDC，∠BAC ＝40°，則∠CAD 的度數為．

圖4

通過觀察，我們會發現本題中的共點A，等長AB，AC，AD，于是我們巧妙利用圓的概念，以A 點為圓心，AB 長為半徑構造隱性的⊙A，聯想到圓周角定理，可得出∠CAD ＝80°．

例如，如圖5，在△ABC 中，DA ＝DB ＝DC， ∠BAD ＝20°， 則∠ACB 的 度 數為．

圖5

本題中，因為DA ＝DB ＝DC，故只要構造以D 為圓心的⊙D，由DA ＝DB，∠BAD＝20°，及等腰三角形的性質可得∠BDA＝140°．

再利用圓周角的度數等于它所對弧的圓心角度數的一半，

故而有∠ACB＝70°．

從表面看，這兩題似乎與圓無關，但我們能深挖題目中隱含的條件．由AB ＝AC ＝AD （或DA ＝DB ＝DC），利用定義“各點到定點的距離都等于定長”，巧妙地構造隱含的“圓”，再運用“圓周角的度數等于它所對弧的圓心角度數的一半”，就能順利地解決問題．

四、利用“隱圓”的有關性質與判定,證明邊角問題

在教材中，直徑所對的圓周角等于90°；反過來，90°的圓周角所對的弦是直徑．在實際的解題中，充分運用該判定與性質，往往能起到“一語驚醒夢中人”的作用．

例如，如圖6，在△ABC 中，點P 是BC 邊上的動點，點M 是AP 的中點，PD⊥AB，垂足為D，PE⊥AC，垂足為E，連接MD，ME．

求證：∠DME＝2∠BAC．

圖6

本題若按正常的解題思路來做，無疑是有些難度的，但考慮到∠ADP與∠AEP 都是90°，斜邊都是AP，我們可以想到圓周角定理，構造⊙M，∴點A，D，P，E 在以M 為圓心，PA 為直徑的圓上，再利用圓周角定理，可得∠DME ＝2 ∠BAC，該問題便解決了．

又如，（2017·廣東）如圖7，在平面直角坐標系中，O 為原點，四邊形ABCO 是矩形，點A，C 的坐標分別是A（0，2）和，點D 是對角線AC 上一動點（不與A，C 重合），連接BD，作DE⊥DB，交x 軸于點E，以線段DE，DB 為鄰邊作矩形BDEF．

圖7

是否存在這樣的點D，使得△DEC 是等腰三角形？ 若存在，請求出AD 的長度；若不存在，請說明理由．

本題解法多樣，根據∠BDE ＝∠BCE ＝90°同在四邊形BDEC 中，易聯想到“四點共圓” ，從而構造“隱圓”⊙K，如圖8，取BE 的中點K，連接DK 和CK，根據“直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CK ＝DK ＝EK ＝BK ＝，所以由圓周角定理， 可得∠1 ＝∠2．同時，在Rt△AOC中，

圖8

接下來再分兩種情況解析何時△DEC 是等腰三角形：①當DE＝CE 時；②當CD＝CE 時．

五、活用“隱圓”特征,解決一些最值問題

最值問題在初中數學中的重要地位逐步凸顯，它也是在學生對幾何與代數知識有所積累后，一類難度較大、靈活性較強、綜合性較高的題目，學生的解題思路有時難以打開，但如果能借助“隱圓”的一些特性，就能順利破解這類問題．

例如，如圖9，Rt △ABC 中，AB ⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 內部的一個動點，且始終有AP⊥BP，則線段CP 長的最小值為．

圖9

又如圖10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．P是AB 邊上的動點（不與點B 重合），將△BCP 沿CP 所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A 長度的最小值是．

在圖9 中，∠APB ＝90°，構造以AB 為直徑的隱圓O，當C，P，O 三點共線時，CP 取到最小值；在圖10 中構造以C 為圓心、CP 長為半徑的圓，當點B′落在AC 邊上時，根據圓外的點與圓心連線的最短（長）的特點，這兩個問題就能順利解決．

圖10

又如，如圖11，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°， AB ＝ 3， BC ＝ 4，Rt△MPN中，∠MPN ＝90°，點P 在AC 上，PM 交AB 于點E，PN 交BC于 點 F， 當 PE ＝ 2PF 時，AP＝．

圖11

本題解題的基本思路是，由共斜邊直角三角形想圓，輔助圓一出現，就可以利用同弧所對的圓周角相等進行換角，利用三角函數解決問題．連接EF，以EF 的中點O 為圓心，OE 為半徑作圓，連接BP，作PG⊥AB 于G．E，B，F，P四點共圓，故∠PBE＝∠PFE，tan∠PBE＝由GA＋GB＝3，可得由勾股定理，得AP＝3．

六、借助“隱圓”位置關系,解決一些函數問題

在一些函數問題中，解題方法靈活多變，對學生的綜合能力要求較高，如果按正常的運算、推理等方法是難以解決的．如果學生善于抓住運動過程中某特殊位置的等量關系和變量關系，利用“隱圓”，將問題各個時刻的圖形分類畫出，有些問題就能迎刃而解．

圖12

例如，已知二次函數y＝x2-4x 的圖像與x 軸交于A（0，0），B（4，0）兩點（點A在點B 的左邊）．若點C 是一次函數y ＝-x＋b（b＞0）的圖像上的一個動點， 且∠ACB ＝90°，求b 的取值范圍．

探索本題的關鍵在于構造出輔助圓，利用直線和輔助圓相切的位置關系，b的取值范圍就在兩條虛線之間，可得出b 的取值范圍為0≤b≤4．

綜觀上述，通過構造輔助圓，不但可起到避繁就簡、化難為易的作用，構造輔助圓要根據題設、結論、圖形幾方面綜合分析，發現與圓有關的特點，聯想出與圓有關的概念、圖形、性質等，有利于培養學生學習數學的積極性，提高學生解決數學問題的能力，促進學生對解決數學問題方法的探索．