與反比例函數(shù)圖像有關(guān)圖形面積問(wèn)題求解策略

◎朱 光 （長(zhǎng)沙市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

反比例函數(shù)中所涉及的知識(shí)面廣，考查的內(nèi)容比較多，具有較強(qiáng)的可挖掘性，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的考驗(yàn)，進(jìn)而在最近幾年已經(jīng)一度成為中考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)內(nèi)容．在反比例函數(shù)中可以借助相關(guān)的數(shù)值求出三角形面積，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，而k 的值是雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)向x 軸作垂線，最后將該點(diǎn)、垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成三角形，可以發(fā)現(xiàn)所構(gòu)成的三角形面積全都相等．可以借助求解三角形的面積引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)矩形面積，將反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)與圖形面積學(xué)習(xí)相結(jié)合．

一、利用圖形面積求反比例函數(shù)的系數(shù)k

反比例函數(shù)是現(xiàn)今中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的熱點(diǎn)問(wèn)題，尤其是和反比例函數(shù)相關(guān)的圖形的面積問(wèn)題，這類問(wèn)題在中考的數(shù)學(xué)試卷中頻繁出現(xiàn)．因?yàn)榕c反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題不僅僅是考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用情況，還考查學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)和方程思想的學(xué)習(xí)情況．和反比例函數(shù)圖像有關(guān)的基本圖形和基本圖形的變式圖在基礎(chǔ)題和綜合類題中出現(xiàn)的頻率極大，所以學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)要重視與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題，而解決這類問(wèn)題最重要的就是要利用好圖形的面積對(duì)反比例函數(shù)的系數(shù)k 進(jìn)行求值．

例1如圖所示，直線y ＝cx 與反比例函數(shù)的圖像相交于A，B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B 作BC 垂直于x 軸，垂足為C，連接AC，假設(shè)S△ABC＝1，則反比例函數(shù)中的系數(shù)k 的值是多少？

解析在看到這道題之后，首先可以明確題目中的已知條件為S△ABC＝1，而需要解答的問(wèn)題是求反比例函數(shù)中k的值，接下來(lái)可以引導(dǎo)學(xué)生回想與k 相關(guān)的代數(shù)式，將三角形的面積運(yùn)用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，從而形成關(guān)于k 的代數(shù)式，進(jìn)而將k 的值求出．不過(guò)，大多數(shù)學(xué)生在解題過(guò)程中一貫使用傳統(tǒng)的解題思路，主要是先求A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出BC 與高的值，如果運(yùn)用這種解題方法，該題的復(fù)雜度會(huì)隨之增加［1］．在這種情況下，可以讓學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀察，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形面積解答問(wèn)題．經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)△BOC 與△AOC 之間存在一定的關(guān)系，兩者之間的共同點(diǎn)主要是底邊相同，并且高也相等，而△ABC 是由兩者共同組成．由此，我們可以得出S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＝1，進(jìn)而可以得出S△BOC＝S△AOC．然后根據(jù)已知條件S△ABC＝1，可以得出最后根據(jù)反比例函數(shù)與△OBC 的面積關(guān)系得，進(jìn)而可以算出k ＝1，然后我們從該題的圖像中可以具體看到該反比例函數(shù)的圖像位于一、三象限，最終得出反比例函數(shù)的系數(shù)k 的值為1．通過(guò)該題的解答可以分析得出此種形式的題需要借助三角形面積與面積之間的轉(zhuǎn)化，然后利用反比例函數(shù)與三角形之間的明顯關(guān)系，最終得出反比例函數(shù)的系數(shù)k 的值［2］．這種涉及圖形的反比例函數(shù)比較常見，教師在教學(xué)過(guò)程中需要仔細(xì)研究，并結(jié)合學(xué)生日常的解題習(xí)慣進(jìn)行教學(xué)．

二、利用圖形面積與反比例函數(shù)的解析式求解其他問(wèn)題

例2如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y ＝的圖像與y＝kx＋1 的圖像在第一象限中相交于C 點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線CD，CF，最終可以得出正方形CDOF，要求根據(jù)題目中的已知條件得出一次函數(shù)的解析式［3］．

解析在進(jìn)行一次函數(shù)的解析式的解答中，可以讓學(xué)生以正方形與反比例函數(shù)圖像之間的關(guān)系為題目的突破口，進(jìn)而算出C 點(diǎn)的具體坐標(biāo)．首先，我們可以對(duì)C 點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），由已知條件可以得出C 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，然后我們可以得出ab ＝9，此時(shí)可以讓學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀察，觀察得出四邊形CDOF的邊長(zhǎng)相等，為正方形，所以可以得出a，b 值相等，a2就等于9，由此可以得出a ＝3 或者a ＝-3，然后將題目的解答引導(dǎo)到圖形中，可以看出C 點(diǎn)在第一象限中，也就得出C 點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）．最后因?yàn)镃 點(diǎn)在一次函數(shù)y＝kx＋1 的圖像上，將點(diǎn)C 的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，最終可以得出

三、利用圖形面積與反比例函數(shù)的解析式求解

這些年來(lái)，全國(guó)各地的中考試卷中都或多或少地涉及了與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題．從表面來(lái)看，與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題涉及的圖形變化較多，樣式繁雜，從這類題目考查的知識(shí)點(diǎn)上來(lái)講，與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題通常把反比例函數(shù)、相似三角形和圖形變換等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，是具有很強(qiáng)的綜合性的題目．從這類題的解題方法上來(lái)看，這類題因?yàn)樯婕暗闹R(shí)點(diǎn)較多，所以它的解題方法也有很強(qiáng)的靈活性，這就導(dǎo)致想要更好地解答這類題目，不僅需要牢固地掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，還需要對(duì)三角形、四邊形等一些與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題中涉及的圖形相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有一定程度的了解和掌握．下面將從三角形、矩形、平行四邊形以及圓等圖形著手，歸納一些這類問(wèn)題的解題策略．

（一）三角形的面積

在解決與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題中涉及的圖形是三角形這一類的問(wèn)題時(shí)，不僅需要掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，還需要對(duì)三角形的面積公式以及相似三角形的一些性質(zhì)等有一定程度的了解，這樣才能夠很好地解決這類問(wèn)題．

（二）矩形的面積

當(dāng)遇到與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題中的圖形是矩形時(shí)，我們通常會(huì)使用矩形的面積公式和特殊矩形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題．

（三）平行四邊形的面積

在解決與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題中涉及的圖形是平行四邊形這一類的問(wèn)題時(shí)，我們通常會(huì)使用平行四邊形的面積公式和特殊平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題．

四、圓及其他圖形的面積

在解決與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題中涉及的圖形是圓或者其他圖形這一類的問(wèn)題時(shí)，我們能夠利用特殊圖形的相關(guān)性質(zhì)和將圖形進(jìn)行變換去求解，或者使用一些和圓的面積的和差去表示一些不特殊的圖形的面積．

在進(jìn)行反比例函數(shù)和幾何圖形面積的相關(guān)教學(xué)時(shí)，最重要的就是讓學(xué)生徹底了解和掌握反比例函數(shù)中k 的意義，其次就是讓學(xué)生能夠更好地運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像和相關(guān)的性質(zhì)去解決一些綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題．在整個(gè)解決與反比例函數(shù)圖像有關(guān)的圖形面積問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生自己試著在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)P（x，y），再過(guò)點(diǎn)P 作x 軸和y 軸的垂線，進(jìn)而深入思考x 軸和y 軸與垂線在坐標(biāo)系上形成的矩形和三角形的面積與反比例函數(shù)中k值的關(guān)系．本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是讓學(xué)生們能夠?qū)Ψ幢壤瘮?shù)的圖像進(jìn)行分析，以更好地解決實(shí)際問(wèn)題．而且，因?yàn)橐呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了函數(shù)的概念，所以學(xué)生們能夠?qū)Ψ幢壤瘮?shù)的概念有一個(gè)初步的了解．教師重點(diǎn)教學(xué)的反比例函數(shù)的解題方法主要是畫圖像法．通過(guò)觀察圖像的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的變化規(guī)律、特殊值的位置等將反比例函數(shù)歸類，并提出相關(guān)的問(wèn)題讓學(xué)生自主研討．這種教學(xué)方式能夠幫助學(xué)生更好地利用反比例函數(shù)解題，通過(guò)對(duì)反比例函數(shù)的歸類，靈活地運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)解題方式，而自主地研討能夠更好地提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，還能讓學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識(shí)掌握得更加牢固．

解析：由已知，點(diǎn)A，B，C，D，E 這五個(gè)整點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)，且這五個(gè)點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖像上，所以這五個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的乘積為16．因?yàn)?6 ＝1×16 ＝2×8＝4×4，所以結(jié)合圖像可知點(diǎn)A，B，C，D，E 的坐標(biāo)依次為（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）．每個(gè)橄欖形的面積可以看成以正方形邊長(zhǎng)為半徑的半圓的面積與這個(gè)正方形的面積之差．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，則這個(gè)正方形內(nèi)部的橄欖形的面積為

結(jié)束語(yǔ)：根據(jù)上文描述得知，為了降低學(xué)生在有關(guān)反比例圖形題目的解答中的難度，增加此類題目的正確率，節(jié)省題目的解答時(shí)間，教師在進(jìn)行與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積教學(xué)過(guò)程中，首先，應(yīng)該讓學(xué)生明確反比例函數(shù)中k 的具體意義，然后通過(guò)矩形基本特征圖形面積等于k 以及直角三角形基本特征圖形面積等于k 的一半的基本理論，讓學(xué)生對(duì)復(fù)雜的題型進(jìn)行解題思路的轉(zhuǎn)變．此外，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中要鍛煉學(xué)生的觀察能力、思維能力以及探索能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有具備這些能力才能有效地解決問(wèn)題．