素數個數公式

◎安華杰 安福臻 （．河北省吳橋縣何莊鄉大魏中學，河北 滄州 06800；．河北省吳橋縣人民醫院，河北 滄州 06800）

一、預備定理

Pi表示素數，i 為自然數，P1是偶素數2，P2是奇素數3，P3是奇素數5，P4是奇素數7，P5是奇素數11……

定理1：在自然數中，按素數順序，到削去Pi的各倍數時，削去的第一個數是

證明：Pi的各倍數是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi，6Pi，7Pi，8Pi，9Pi，10Pi，11Pi，12Pi，13Pi，14Pi，15Pi……（Pi-1）Pi，（Pi＋1）Pi……

推論：在自然數中，削去Pi的各倍數后，前未被削去的數都是奇素數（1，2 除外）．

定理2：削去Pi的各倍數，到自然數N（N≥）削去數的個數等于Pi至除以Pi除不盡時，其商取只舍不入的整數值）未被Pi-1削去數的個數．

證明：因為不按素數順序先削去Pi的各倍數時，到N削去的最后一個數是Pi的m 倍除以Pi除不盡時，其商取只舍不入的整數值)，所以不按素數順序先削去Pi的各倍數是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi，，（Pi＋1）Pi……（m-1）Pi，mPi．

因為按素數順序，到削去Pi的各倍數時，削去的第一個數是

所以按素數順序削去Pi至Pi-1的各倍數后，以前的各數2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi都已被削去了．

所以削去P1至Pi-1各倍數后，在Pi，Pi＋1，Pi＋2，Pi＋3……（m-3），（m-2），（m-1），m 這一列連續的自然數中，凡不是被削去的數，它們和Pi的各積到削去Pi的各倍數時才能被削去．

因此，削去Pi的各倍數時，到自然數N（N≥）削去數的個數等于Pi至除以Pi除不盡時，其商取只舍不入的整數值）未被Pi-1削去數的個數．

二、素數個數公式

1．素數個數準確公式：

2.缺乏高素質的管理人員和技術人員。在煤炭企業健康發展的過程中，一線員工發揮了重要作用，是不可或缺的組成部分。但是由于煤炭行業工作環境較為艱苦，而且人才引進機制不完善，導致企業難以引進高素質技術人才，基層員工在技術與綜合素質方面還有待提升。在此大環境下，雖然煤炭企業已經著手加大人才引進力度，但在培訓工作方面開展的并不順利，造成煤炭企業技術人員與管理人員雖然能夠勝任崗位，但是還不夠優秀，對于工作中遇到的難題不能第一時間進行解決，在某種程度上限制了煤炭企業的正常運行，不利于煤炭企業的全面、健康發展。

在1，2，3，4，5……N 一列自然數中削去2 的各倍數時，削去了2 除外的各偶數，所以削去2 的各倍數后到N 未被削去數（1 除外）的個數為奇數時，其商取只入不舍的整數值）．削去3 的各倍數時，到N 削去數的個數＝3 至未被2 削去數的個數．削去5 的各倍數時，到N 削去數的個數＝5 至未被3 削去數的個數……一般地，削去Pi的各倍數時，到N 削去數的個數＝Pi至未被Pi-1削去數的個數．Pi至未被Pi-1削去數的個數表示為商，簡記為時，削去Pi的各倍數后到N 的素數個數用Pi（N）表示，則素數個數準確公式為：

練習：利用素數個數準確公式求下列各偶數以內素數的個數．

討論：對于這個公式有必要進行討論，一方面討論它的純粹性，另一方面討論它的完備性．

純粹性：在1 至N 一列自然數中削去各素數的各倍數時，“1”總不被削去．因為“1”不是素數，所以要在公式里減去1．完備性：在1 至N 一列自然數中削去各素數的各倍數時，2 作為素數2 的一倍數被削去，3 作為素數3 的一倍數被削去，5 作為素數5 的一倍數被削去，…，Pi作為素數Pi的一倍數被削去，所以要在公式里加上i．

練習：利用素數個數近似公式求下列各偶數以內素數的個數．

（1）10 （2）100 （3）210 （4）500 （5）1000

所以在1 至10 一列自然數中素數的個數

答：10 以內有素數4 個（和準確值相等）．

所以在1 到100 一列自然數中素數的個數

答：100 以內有素數25 個（和準確值相等）．

所以在1 到210 一列自然數中素數的個數

答：210 以內有素數45 個（和準確值相等）．

所以在1 到500 一列自然數中素數的個數

答：500 以內有素數92 個（比準確值95 少3 個）．

所以在1 到1000 一列自然數中素數的個數

答：1000 以內有素數162 個（比準確值168 少6 個）．

在計算以上各近似值的過程中，計算器上有幾位小數就取幾位小數，最后結果取只舍不入的整數值．