基于小學(xué)數(shù)學(xué)猜想和證明的反例研究

■山東省臨沂市莒南縣第二小學(xué) 董文敏

一、背景

猜想和證明是數(shù)學(xué)的核心，應(yīng)成為小學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的核心要素之一。在猜想和證明定理的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家從事各種活動(dòng)，這些活動(dòng)在定理和證明的最終形式中沒(méi)有明確描述。尤其是，數(shù)學(xué)家必須不斷地測(cè)試其數(shù)學(xué)論證的邏輯鏈的正確性和連貫性，例如通過(guò)搜索反例。實(shí)際上，Lakatos 指出“非正式的，準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)不是通過(guò)不可否認(rèn)的定理數(shù)目的單調(diào)增加，而是通過(guò)猜測(cè)和批評(píng)，通過(guò)證明和反駁的邏輯不斷地改善猜測(cè)”，提出反例的反駁在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常起重要作用。為了概念化學(xué)校數(shù)學(xué)中的證明概念，Stylianides提出了“知識(shí)-誠(chéng)實(shí)原則”，其中“規(guī)定學(xué)校數(shù)學(xué)中的證明概念應(yīng)被概念化，以便對(duì)數(shù)學(xué)作為一門(mén)學(xué)科誠(chéng)實(shí)并同時(shí)尊重學(xué)生作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者”。根據(jù)對(duì)證明的概念化，他進(jìn)一步分析了一個(gè)課堂情節(jié)，三年級(jí)學(xué)生試圖證明兩個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)。正如他提到的那樣，“誠(chéng)實(shí)守信”原則可以在概念化學(xué)校數(shù)學(xué)中的其他概念時(shí)使用，也可以更廣泛地使用它，該原理不論是對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)中的證明還是對(duì)所有數(shù)學(xué)都非常有用。這項(xiàng)研究的目的是考驗(yàn)數(shù)學(xué)教師和教育者如何在小學(xué)階段實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而這在數(shù)學(xué)上是誠(chéng)實(shí)的，并帶有證明和反駁。本文的重點(diǎn)是小學(xué)生是否有可能體驗(yàn)真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)，特別是證明和反駁，作者將描述和分析兩個(gè)5年級(jí)兒童在提出反例時(shí)的反應(yīng)，這是一種基本方法，在他們的問(wèn)題解決過(guò)程中提出了反駁。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想

（一）研究對(duì)象

本文的主要重點(diǎn)是學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，以及在小學(xué)數(shù)學(xué)中的反例。作者對(duì)一對(duì)在日本公立小學(xué)就讀的五年級(jí)生Daiki和Takuya（化名）進(jìn)行了采訪(fǎng)。訪(fǎng)談是在日本進(jìn)行的一項(xiàng)較大研究的組成部分之一，作者一直在探索如何促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中使用動(dòng)作證明。選擇Daiki和Takuya參加訪(fǎng)談的主要原因是，據(jù)他們?cè)诹硪凰⑿W(xué)當(dāng)教師的父母說(shuō)，作者之間的關(guān)系十分融洽并可以清楚地表達(dá)彼此的想法。父母期望學(xué)校提供豐富的話(huà)語(yǔ)數(shù)據(jù)來(lái)分析孩子的思維，而作者和孩子在面試前的簡(jiǎn)短交談證實(shí)了這一點(diǎn)。根據(jù)他們的成績(jī)單和父母的評(píng)論，他們的數(shù)學(xué)能力可以被判斷為Daiki（優(yōu)秀）和Takuya（平均），但是他們的能力并不是選擇他們作為參與者的重要因素。

（二）研究方法

訪(fǎng)談中的任務(wù)與“兩位整數(shù)和其位數(shù)與原始整數(shù)的順序相反的整數(shù)之和”有關(guān)，例如32+23=55（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“兩位整數(shù)之和”）。日本學(xué)生通常會(huì)在八年級(jí)時(shí)遇到此任務(wù)，他們希望通過(guò)代數(shù)論證證明兩個(gè)整數(shù)的和是11的倍數(shù)。但是，我決定在本次采訪(fǎng)中使用此任務(wù)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)小學(xué)生傾向于猜測(cè)更原始的語(yǔ)句，例如“當(dāng)兩個(gè)整數(shù)的和仍然是兩位數(shù)字時(shí)，和的十位數(shù)和一位數(shù)相等”（例如，32+23=55，5=5）; 這種趨勢(shì)將使作者更容易提出反例（例如85+58）并觀察學(xué)生的反應(yīng)。面對(duì)反例之后，學(xué)生還可以體驗(yàn)將他們的原始猜想改進(jìn)為更全面的猜想，即兩個(gè)整數(shù)的和是11的倍數(shù)。采訪(fǎng)大約花了50分鐘，是半結(jié)構(gòu)化的：首先，作者將任務(wù)提交給Daiki 和Takuya，然后他們做出了上述原始猜想并試圖證明這一點(diǎn)，然后反例“85+58？”被提出來(lái)使他們改變了他們的第一個(gè)猜想。為了在猜想和證明之后提出反例，作者故意顯示了只有兩個(gè)整數(shù)的和在早期階段仍保持兩位數(shù)的情況（52+25、26+62和31+13）。

如上所述，這項(xiàng)研究是作者對(duì)動(dòng)作證明的研究的一部分，因此要求Daiki和Takuya利用操縱對(duì)象證明其猜想。采訪(fǎng)準(zhǔn)備了兩種類(lèi)型的操縱對(duì)象：一個(gè)是日本的100 日元，10 日元和1 日元硬幣，另一個(gè)是黃色，綠色和紅色柜臺(tái)。在采訪(fǎng)中，Daiki 和Takuya能夠選擇他們想要使用的操縱對(duì)象。在采訪(fǎng)中，Dai?ki 和Takuya 可以使用工作表，操作對(duì)象以及一支鉛筆，并且他們被要求對(duì)操作對(duì)象進(jìn)行檢查，但不是單獨(dú)而是協(xié)作進(jìn)行，因?yàn)橄Ｍ麄冊(cè)谶@種情況下更自然地表達(dá)自己的思想。環(huán)境及其表達(dá)方式似乎有助于分析其思想。采訪(fǎng)被記錄并抄錄；還使用攝像機(jī)記錄了他們與操縱對(duì)象的數(shù)學(xué)活動(dòng)，交流和“動(dòng)作”。通過(guò)視頻記錄和他們?cè)诠ぷ鞅砩蠈?xiě)的內(nèi)容分析成績(jī)單，重點(diǎn)是他們證明自己的原始猜想，面對(duì)反例，然后重新檢查該猜想和證明的過(guò)程。

三、研究結(jié)果

（一）證明原始猜想

Daiki 和 Takuya 計(jì)算出了 52+25=77、26+62=88和31+13=44，并對(duì)計(jì)算結(jié)果感到驚訝。然后，他們做出了各種推測(cè)，其中，他們?cè)噲D通過(guò)使用以下計(jì)數(shù)器來(lái)證明“兩個(gè)整數(shù)之和的十位數(shù)和一位數(shù)相等”。

首先，他們認(rèn)為綠色柜臺(tái)和紅色柜臺(tái)分別為10和1。Daiki 和Takuya 然后選擇了71+17 作為兩個(gè)整數(shù)和的示例，并將其表示為圖1的狀態(tài)1。注意到他們的小錯(cuò)誤后，他們移走了兩個(gè)綠色柜臺(tái)。然后，他們將71 的七個(gè)綠色計(jì)數(shù)器移動(dòng)到17 的七個(gè)紅色計(jì)數(shù)器的一側(cè)（狀態(tài)2）。接下來(lái)，他們將17 的綠色計(jì)數(shù)器和71 的紅色計(jì)數(shù)器（狀態(tài)3）拿走，并將它們放在七個(gè)綠色和紅色計(jì)數(shù)器上方（狀態(tài)4）。然后，他們確認(rèn)柜臺(tái)的布置代表88，如下圖所示：

圖1 在71+17中重新安排的過(guò)程

（二）面對(duì)反例修改猜想證明

在標(biāo)記了數(shù)字A 和B 之后，Daiki 提到了兩個(gè)事實(shí)。A 的十位數(shù)和B 的十位數(shù)相同；B 的十位數(shù)和A的十位數(shù)也相同。然后，他說(shuō)由于每個(gè)和的十位數(shù)和個(gè)位數(shù)相等（在71+17、70+7=77 和7=7；1+10=11和1=1的情況下），因此十位數(shù)和個(gè)位數(shù)兩個(gè)和的和的位數(shù)也相等（77+11=88和8=8）。他們確認(rèn)可以將相同的想法應(yīng)用于85+58，如下圖所示：

圖2 在85+58中重新安排的過(guò)程

四、結(jié)語(yǔ)

這項(xiàng)研究表明，只要安排了適當(dāng)?shù)沫h(huán)境（在這項(xiàng)研究中，與兩個(gè)整數(shù)的和和動(dòng)作證明有關(guān)的任務(wù)），即使在小學(xué)階段，也有可能獲得這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并且接受反例為了體驗(yàn)真正的數(shù)學(xué)過(guò)程，承認(rèn)猜想的虛假性以及更深入地分析猜想和證明很重要。因此，對(duì)于不僅在小學(xué)而且在所有年級(jí)的教學(xué)都具有意義，教師應(yīng)準(zhǔn)備適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)環(huán)境，并在面對(duì)反例時(shí)向?qū)W生提出以下問(wèn)題：例如，“您的猜想為什么會(huì)變成假？”“在反例的情況下，您的證據(jù)中有哪些部分會(huì)分解？”“在反例的情況下，您的證明的哪一部分可以適用”和“您是否可以利用這一部分來(lái)發(fā)明一個(gè)新的猜想？”。