淺談數列的極限及其應用

摘 ?要：本節探討如何用數學的語言精確地刻畫數列無限變化的過程。強調極限是在求解精確解的問題中產生，以及利用極限解決問題的思想與方法。

關鍵詞：數列 ?函數 ?極限

高等數學是為大學一年級新生開設的一門數學基礎課。而數學課程具有的較強理論性使得學生常常對其形成一種枯燥乏味的感受。如何結合實際背景，在傳統的數學課中注入豐富的數學思想與文化是高等數學教與學中一個值得探討的問題^[1]。

在同濟大學第7版的高等數學中，第一章第2節展開了對數列極限的分析^[2]。在前面的課程中我們介紹了函數的概念，這是定義在數集與數集之間的映射。而當輸入的數集為自然數集時即為一種特殊的函數：數列。由于數列的這一特殊性，其常常用來描述某些無限變化的過程問題，例如割圓術等。通過無限變化的過程來求解一些問題的精確解。這也是中國古代早期的樸素的極限思想的體現。古今中外的數學家都嘗試著描述這個無窮無盡的抽象的變化過程。那怎樣給出嚴格的數學形式的極限定義呢？這就是本節探討的主題。

一、極限思想的發展

首先，結合引例的分析引導學生感受極限思想的發展。例如《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時代數學家劉徽使用割圓術，分割圓為192邊形，得：3.141024<π<3.142704。瑞典數學家科赫提出的“不斷生長”的科赫雪花。

但是如何給出嚴格的數學定義來刻畫數列的變化趨勢卻是一個長久未能解決的問題^[3]。這使微積分的發展產生了嚴重的危機。……