基于Scilab的IIR濾波器設計

孫小娟

（重慶電子工程職業學院 重慶 401331）

一、引言

動態信號是指信號中的某些屬性隨著時間的變化而連續變化的一類信號，用確定性動態信號代替數字信號，使用兩種頻率值來代替邏輯值，即把邏輯值映射到頻率上，這樣做可以避免數字信號本身存在的位翻轉、漂移和時鐘抖動現象，從而保障安全攸關系統的可靠性。

為了得到確定性動態信號的穩定輸入輸出，需要使用帶通濾波器，這樣既可以濾除雜波信號，又保證容錯能力。就單位脈沖響應而言，常用的濾波器有IIR濾波器和低通、高通、帶通、帶阻等幾種IIR濾波器。從性能上來說，FIR濾波器由于其階數高，故信號延時較大。在相同的設計要求下，IIR濾波器由于采用遞歸結構，其傳遞函數的極點在單位圓內，可以采用比FIR濾波器較少的階數來達到設計要求，因此具有階數低、選擇性好、經濟效益高的優勢，因此，本文選擇IIR濾波器設計本文需要的帶通濾波器。

二、基于安全動態信號的安全關鍵邏輯簡介

（一）Scilab軟件簡介

Scilab是一種輕量級的開源科學工程計算軟件，它提供了可以滿足不同工程與科學需要的工具箱，例如SCICOS、圖與網絡工具箱和信號處理工具箱等[1]，基本功能可以和軟件Matlab相媲美。

（二）基于動態信號的安全關鍵邏輯簡介

如果計算機中的安全關鍵邏輯出現了異常，將會導致安全攸關系統出現故障甚至癱瘓，因此計算機中使用的安全關鍵邏輯的可靠性必須得到保證。用確定性動態信號代替數字信號，使用兩種頻率值來代替邏輯值，即把邏輯值映射到頻率上。如表1所示，可以把邏輯真用60Hz代替，邏輯假用120Hz代替，二者的邏輯關系可以用如下方法實現：

表1 邏輯值映射

假設有兩個正弦信號A和B，信號A的頻率 為60Hz，信號B的頻率 為120Hz，將兩個正弦信號相乘，則可以得到兩個信號的和與差：

觀察其頻譜，從兩個動態信號的相乘結果并不能看出明顯的邏輯關系。。所以，需要再引入一個輔助動態信號H，將A*B與H相乘，取H的頻率為90Hz,結果如表2所示。

表2 H=90Hz時，A?B的頻率

用60Hz表示邏輯“真”，120Hz表示邏輯“假”。如果A和B都為邏輯真（60Hz）時，從表格中第二行來看，看到A*B*H中沒有150Hz的頻率分量；當A和B中至少有一個為假（120Hz）時，從三、四、五行可以發現，A*B*H含有150Hz的頻率分量，則可以規定A*B*H信號中含有150Hz頻譜分量時表示的邏輯為“真”，不含有150Hz頻譜分量時表示的邏輯為“假”。再從縱列來看， A列、B列以及A*B*H列，含有150Hz的一列就與邏輯運算中的邏輯“與非”相對應。對應地，當信號A、B的頻率均為60Hz，即邏輯真時，A*B*H中含有210Hz的頻率分量；當信號A、B中只要有一個信號的頻率為120Hz，即邏輯假時，信號A*B*H中就不含有210Hz的頻率分量，則可以規定信號A*B*H中含有210Hz的頻率分量表示邏輯“真”，不含有210Hz的頻率分量時表示邏輯“假”。再從縱行來看，A列、B列，以及A*B*H列，含有210的一列就與邏輯運算中的邏輯“與”相對應。

如果120Hz表示邏輯“真”，60Hz表示邏輯“假”，其他與上表一致。觀察表可知，則A、B兩列，以及A*B*H中含有150和210的兩列，與邏輯運算中的“或”和“或非”是相對應。同時，信號A*B*H中出現30Hz和330Hz頻譜分量，與出現上表中頻譜分量150Hz和220Hz的情況類似。也就是說，A*B*H中含有30和330的這兩列也可以用來表示邏輯“與”和邏輯“與非”，或者是邏輯“或”和邏輯“或非”。

安全關鍵邏輯的結構如圖1所示。在本文中以邏輯“與”和“與非”為例說明，以60Hz的正弦波表示邏輯“真”，120Hz的正弦波表示邏輯“假”。

圖1 安全攸關系統邏輯的結構

為了濾除不合格的信號，專門檢測特定頻率的信號（如210Hz），需要使用帶通濾波器。輸入濾波器由通帶為58Hz-62Hz和118Hz-122Hz的帶通濾波器并聯，將輸入信號A、B相乘，再與H相乘，得到A*B*H，輸出濾波器有兩個，為通帶分別為205Hz-215Hz和145Hz-155Hz的帶通濾波器。

三、IIR數字濾波器設計

IIR數字濾波器的設計方法主要有三種,即計算機輔助設計、頻域變換(原型變換法)和模擬數字變換。

就變換方法而言，主要有脈沖響應不變法、階躍響應不變法和雙線性變換法。脈沖響應不變法常用于設計有限帶寬的低通和帶通濾波器，不宜用來設計高通和帶阻濾波器。階躍響應不變法存在頻率響應的混疊失真現象，但失真現象比沖激響應不變法小[2]。雙線性變換法克服了混疊失真現象，適合設計具有“分段常數特性”的濾波器（如低通，帶通，高通等）。

與IIR濾波器對應的模擬濾波器原型一般有：巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器I 、II型和橢圓函數濾波器。巴特沃斯濾波器的通帶和阻帶比其它數字濾波器的平坦，同時考慮到安全攸關系統簡單的原則，以及在安全關鍵邏輯中是通過判斷輸出信號的幅度來決定“真”“假”的，故本文最終選擇選擇使用雙線性變換法設計基于巴特沃斯的IIR濾波器。

四、基于Scilab的IIR數字濾波器的仿真

（一）Scilab設計IIR數字濾波器仿真

采用模擬濾波器雙線性變換法設計IIR濾波器：

Scilab軟件中，直接設計IIR濾波器的函數有iir，函數原型為

[hz]=iir(n,ftype,fdesign,frq,delta)；

[p.z.g]=iir(n,ftype,fdesign,frq,delta)；

[cells, fact, zzeros, zpoles] = eqiir(ftype, approx, om, deltap, deltas)；

下面設計一個3階帶通橢圓濾波器。通帶截止頻率為 0.15 和 0.25，通帶允許波動為 0.08, 阻帶允許波動為 0.03。

hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03])；

計算出的濾波器傳遞函數為：

畫出其頻響曲線，如圖2所示：

圖2 3階帶通橢圓濾波器頻響曲線

如果需要，可以再畫出其零極點圖，如圖3所示：

圖3 3階帶通橢圓濾波器零極點圖

需要計算零極點時：

由計算得到的零極點知，其零極點都在單位圓內，函數是穩定的。

（二）仿真結果測試與分析

在Scilab中對表1所示的“與”和“與非”邏輯進行仿真，仿真結果如圖4所示。

圖4 “與”和“與非”仿真結果

所有信號的時長均取為兩秒，信號A的頻率在第一秒內為60Hz，第二秒變為120Hz；信號B的頻率在60Hz和120Hz之間每隔0.5s交替變換。這樣就能夠得到表1.1中的四種組合。其中，輸出帶通濾波器的階數均設為6階，由最后一組波形圖可以看到，當信號A、B同時為60Hz時，帶通濾波器（205-215Hz）有波形輸出，而帶通濾波器（145-155Hz）幾乎沒有波形輸出，信號A、B為其他組合時，兩個濾波器的波形輸出情況正好相反。即仿真結果完全符號與其效果。由圖2、3知，濾波后的信號比輸入信號有大概0.1秒左右的延遲，這個延遲是由濾波器本身的計算過程產生的。濾波器的階數越高，濾波計算量越大，信號的延時就會增加，因此在設計時應盡量選用階數低的濾波器[3]。

五、結束語

本文就基于動態信號的安全關鍵邏輯中濾波器的設計部分做了詳細的講解，首先介紹了什么是基于動態信號的安全關鍵邏輯，提出了濾波器的設計。其次，描述了濾波器的種類、及各自的特點等等，在比較分析后，確定了設計采用雙線性變換法的基于巴特沃斯濾波器的IIR數字濾波器，設計了安全關鍵邏輯系統中所需的濾波器，并分析了其性能，符合預期的效果。