初中數學分類討論思想在解題中的應用研究

萬夢影

（江西省南昌市十字街學校 江西南昌 330000）

引言

數學思想方法，是學習數學知識，掌握數學核心內容的載體，是學生必須要掌握的內容。分類討論思想作為數學思想方法一種，具有簡化問題的優勢。在實際解題中應用，拓展學生數學思維，提高學習效果。本文就該思想在數學解題中應用進行分析。

一、分類討論思想應用優勢

（一）培養學生邏輯思維

數學中應用分類討論思想解決問題時，可以使學生的數學邏輯推理思維更加完善，對知識應用更加靈活[1]。初中階段，是學生學習成長的關鍵時期，這一階段形成的思維邏輯習慣將會影響學生的一生，使學生具備清晰的思維邏輯與條條理，可以幫助學生更好的學習知識。數學解題中，鼓勵學生自主使用分類討論思想解決問題，使學生在解題中獲得成長，以此提高解題教學的實效性。

（二）培養學生解題習慣

初中數學中，很多學生不適應快節奏的教學方法與解題方法，在學習中容易出現抵觸心理，影響學習質量。分類討論思想的應用，拓展解題思路與方法，使學生在解題中形成好的習慣。部分學生解決問題時，會出現漏算、重復計算的情況，分類討論思想的應用，可以規避這一問題，提高學生解題效率，保證解題的準確性。

二、初中數學解題中分類討論思想應用策略

（一）代數問題中應用，提高學生運算能力

代數問題是初中數學問題的重點內容，主要是考察學生對數量關系理解與運算情況。部分學生計算代數問題時，會因為計算錯誤或者考慮問題不全面的情況，影響計算結果[2]。分類討論思想的應用，涵蓋代數問題中所有的計算問題，有效避免解題錯誤。

如，已知一次函數y=kx+b，當-3≦x≦1時，對應y的值為1≦y≦9。則kb的值為（ ）

A.14 B.-6 C.-6或21 D.-6或14

解決這一問題時，可以利用分類討論的思想，對問題進行討論分析。根據問題可知當-3≤x≤1時，對應的y值為1≤y≤9，有兩種情況：（1）當k＞0時，函數值隨自變量增大而增大，所以可以得到2點分別是（-3，1）（1，9） 將2點分別代入y=kx+b中，得到：k=2 b=7 ∴kb=14 ；（2）當K＜0時，函數值隨自變量增大而減小，所以可以得到2點分別是（-3，9）（1，1），代入方程y=kx+b中，得到：k=-2 b=3 ∴kb=-6。因此答案為D。當教師演示結束后，可以為學生設計一個問題，讓學生自主操作，以鍛煉學生分類討論思想應用能力，提高學習效果。如，一直某個商場推出以下優惠方案：一次性購物不超過100元不享受優惠；一次性購物超過100元，但不超過300元一律9折；一次性購物超過300元一律8折。王波兩次購物分別花費80元，252元。如果他一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款為多少元？然后讓學生運用分類討論的方法解決代數問題，探究的花費金額，以此夯實學生數學方法應用能力。

（二）數學概念、定義問題中應用，深化基礎知識理解

數學概念與定義是數學問題設計的基礎，主要是考察學生對基礎知識學習情況。分類討論思想在基礎性問題中應用，可以鞏固基礎，提高解決問題能力。課堂教學中，加強對數學問題的研究，提高分類討論思想應用效果。

例如，已知1/a-|a|=1，問1/a+|a|的值為多少？

這一問題主要是考察學生對絕對值知識掌握是否扎實，解決問題時，可以從|a|入手，對數值a大小分類討論，確定1/a+|a|的值。如當a＞0時，在公式1/a-|a|=1兩邊同時乘a，即 1-a|a|=a，a2+a-1=0，推導出a=(-1+ - √5）/2 a，a=√5-1 /2 。當a＜0時，無解。故將a=√5-1 /2 代入1/a+|a|，就可以得到問題答案。通過對a的分類討論，可以快速確定問題值，保證解題準確性。

（三）幾何問題中應用，提高學生空間思維

幾何問題是初中數學主要問題類型，目的是考察學生對幾何知識理解與應用情況。幾何解題中，應用分類思想，提高學生幾何知識應用能力，提高學習效果[3]。

例如，在△ABC中，已知AB=AC，在頂點A處作一條直線，將三角形ABC分割成兩個小的等腰三角形，三角形ABC的頂角A的度數是多少？

這一問題解題過程中，學生容易出現遺漏的情況，導致解題不全面。實際解題中，可以根據問題，畫出圖形，然后分類討論，確定答案。如下圖：然后根據四個圖形分類討論，如圖1，根據問題可知DA=DB，DA=DC可得∠BAC=90°；如圖2，DB=DA，CD=CA 可得∠BAC=108°；如圖3，DA=DB，CB=CD可得∠BAC=(180/7)°；如圖4，DA=DB，BC=BD可得∠BAC=36°。

圖2

圖3

圖4

總而言之，分類討論思想的應用，培養學生邏輯思維與解題習慣，提高數學解題效果。將此應用在代數問題、幾何問題與概念類型題中，讓學生自主實踐，掌握分類討論思想，并靈活應用，以此提高課堂教學質量，促使學生數學能力提升。