淺析分析與代數中一些解題技巧的交叉應用

王昕陽

重慶師范大學數學科學學院

每一門數學學科都有其特有的數學思想，針對數學特性進行研究，可以真正掌握數學精神實質，只有充分掌握數學思想方法，才能使計算發生作用。初入大學的數學專業本科生會認為不同學科對應著不同的思維方式與解題方法，大多數學生只會將學科與其對應的解題方法進行聯系。在數學分析和高等代數的學習中，將兩者聯系起來，才能真正解決數學分析疑難點，提高數學分析教學質量和教學效率，完成數學課堂教學目標，充分展現數學教學的重要意義。為了幫助數學專業本科生理解一些數學方法的相互關聯使用，用本文將以具體實例來闡述一些技巧的交叉與應用。

一、利用數學分析技巧解決高等代數問題

易知每個非負實數都有唯一的平方根，我們將對于一般的半正定矩陣考慮其平方根的存在性以及唯一性。

例題2.1：假設A為n階非負定矩陣，則存在唯一的n階非負定矩陣B使得A=B2。

證明：首先證明存在性。先給出正定的定義，實二次型f（x1，x2，…，xn）稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數c1，c2，…，cn都有f（c1，c2，…，cn）>0。因A為n階非負定矩陣，根據[1]可得存在正交矩陣T以及對角上全為非負數d1，d2，…，dn的對角矩陣D使得

令F為對角矩陣D的主對角元素d1，d2，…，dn的根號值矩陣，

有B2=BB=T'FTT'FT=T'DT，即得B2=A。則存在性得證。

下面證明這個平方根的唯一性。假設存在另一個非負定矩陣C使得A=C2，然后證明兩個非負定矩陣B、C為同一矩陣即可。以下我們從高等代數和數學分析的兩種角度分別考慮。

根據T，S均為正交矩陣，通過觀察A的特征值我們不妨假設di=li2，i=1，2，…，n。

高等代數方法：將A，B，C看做是n維歐式空間上的線性變換。設λ0為A的特征值，Vλ0為所對應的特征子空間，因此注意到AB=BA，AC=CA，可得Vλ0為B，C的不變子空間。記則易得B1，C1依然正定，并且，其中E為對應Vλ0上的單位矩陣，所以得到B1=C1。而A可以對角化，其所有特征子空間的基可組成整個線性空間的一組基，從而存在一組基使得B，C在其上作用相同，因此B=C。

數學分析方法：Stone-Weierstrass定理定義為閉區間上的連續函數可用多項式級數一致逼近和閉區間上周期為2π的連續函數可用三角函數級數一致逼近。

所以根據Stone-Weierstrass定理，存在一列實系數多項式

根據（1），（2）可得

進而對任意實系數多項式f（x）我們有

在上式中分別用fk替換f，并令k→+∞，我們可得B=C。證畢。

然而取一組多項式進行逼近是數學分析里的常規思路，事實上在代數的思想中，處理有限個數，通過范德蒙行列式表明，是存在一個具體的多項式G，使得i=1，2，…，n。因此，除了數學分析中的逼近思想以外，代數中取具體的多項式也可以得到一樣的結果。

對于代數中常用的克拉默法則，如果線性方程組

的系數矩陣A的行列式，即系數行列式d=|A|≠0，那么該線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以通過系數表為，其中dj是把矩陣A中第j列換成方程組的常數項b1，b2，…，bn所成的矩陣的行列式。在[1]中有習題，設a1，a2，a3，…，an是數域P中互不相同的數，b1，b2，b3，…，bn是數域P中任一組給定的數，那么用克拉默法則可以證明，存在唯一的數域P上的多項式f（x）=c0x（n-1）+c1x（n-2）+c2x（n-3）+…+cn-1，使f（ai）=bi，i=1，2，…，n。

以下我們再給出一個利用數學分析技巧快速解題的例子。

例題2.2：假設A是n階<實對稱矩陣。如果存在兩個n維實向量X1，X2使得X1tAX1<0，X2tAX2>0，則存在非零的n維實向量X0使得X0tAX0=0 。

該例子為[2]中一個習題，在代數方法中我們一般會通過分別說明A的正慣性指數與負慣性指數都為正數，繼而構造相應的X0，我們以下提供一個數學分析中應用介值定理的簡易證明。

首先易見X1，X2線性無關，我們構造函數

f(t）=((1-t）X1+tX2)′A((1-t）X1+tX2)，t∈ [0,1]。

根據已知f(0)<0，f(1)>0且f(t）在[0,1]上連續，根據介值定理，存在t0∈(0,1)使得f(t0）=0。取X0=(1-t0)X1+t0X2，根據X1，X2線性無關，可得X0為非零的n維實向量且滿足題目要求。證畢。

我們繼續通過一個例子來說明代數與分析對于對象的結構刻畫的不同。

例題2.3：假設A是n階實對稱矩陣，則存在c>0使得A+cE為正定矩陣。

證明：由于A是n階實對稱矩陣，所以顯然對任意c>0，A+cE仍然為實對稱矩陣。我們從特征值和所對應二次型的正定型兩個角度來進行刻畫。

高等代數方法：因為A是n階實對稱矩陣，所以它最多具有n個特征值均為實數，故存在c>0，使得對任意A的特征值λ，有λ+c>0。注意到λ為A的特征值當且僅當λ+c為A+cE的特征值。故A+cE的特征值全為正數，因此A+cE為正定矩陣。證畢。

數學分析方法：對任意n維實列向量x=(x1,x2,…,xn)t∈Rn，定義其長度為。易見映射x→xtAx為Rn→R的連續映射，則該映射在有界閉集上有界。記。故對任意非零n維實列向量。因此A+cE為正定矩陣。證畢。

二、結語

高等代數與數學分析雖為數學專業的兩門基礎課，但是這兩門課卻貫穿整個大學期間的數學學習，所以不僅僅要學好這兩門課，更重要的是理解兩者的區別與聯系，對待不同的題目靈活使用最恰當的方法。對于兩者的區別，前者研究出發點是基、變換與空間構造等；而后者研究的出發點是連續、極限、可導可積，以及各種數學變換等等。所以高等代數從整個空間著手；而數學分析更多研究的是空間內部元素的數理關系，元素是連續還是離散的，其變化率是否有某種規律，是否可求面積體積等。當然萬變不離其宗，我們不要將兩門課割裂了再學習，它們只是從不同的角度來看待數學的世界。高等代數關于空間的深刻研究，通過基和運算法則構造空間，同時可通過基的變換從不同的角度來描述空間，這正好對應了數學分析中各種的變換技巧。數學分析中所謂的技巧在高等代數的角度看來本質都是基的變換，只有對應不同的問題情境下采取最合適的一種技巧。

在解題過程中可以發現，利用分析的技巧可以解決代數的問題，而代數的方法比較能呈現出直觀的代數結構，雖然分析方法在一些時候比較難以刻畫問題的結構，但是通過局部的刻畫，有時也能給出一些較為令人意外的結果。所以數學專業的學生無論面對哪門學科的題目，都應該學會從不同的角度看待問題，而不是拘泥于某一學科的固定的思路和方法。