一道中考題的思考

李瓊華

一、題目呈現

已知：如圖，在 中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，點 由 出發沿 方向向點 勻速運動，速度為1cm/s;點 由 出發沿 方向向點 勻速運動，速度為2cm/s;連接 .若設運動的時間為 （0?t?2），解答下列問題：

（1）當 為何值時，

（2）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？

二、題意分析

1.已知條件：（1）△ABC為直角三角形，且兩直角邊的長度分別是3cm和4cm，可以聯想到勾股定理，從而求出AB=5cm;（2）知道點P、Q的運動方向和速度，當時間為t秒時，可以表示線段AQ=2tcm，BP=tcm，進一步得到AP=（5-t）cm。

2.所求問題：（1）當t為何值時， ？

（2）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？

三、題目解析

（1）要滿足PQ∥BC，學生可能會想到“角—平行”或“相似—平行”（即邊的關系解決平行），但從已知條件分析，點的運動轉化后是線段的長度，所以從邊的角度思考到線平行，那么通過三角形的相似可以實現。

（2）這個問題的難度明顯增加，主要考查學生思維的全面性。要使△APQ是等腰三角形，要分情況考慮：因為P、Q兩點是運動的，而點A卻是一定點，那么思考時，將“動”轉為“靜”，以“靜”制“動”，所以考慮以A為頂角頂點時、以A為底角頂點時兩個方面，即當AP=AQ時;當QA=QP時;當PA=PQ時。

①若點A為頂角頂點即當AP=AQ時

四、思想方法總結提煉

1.通過此題解決，總結得出動點問題體現了以下數學思想：分類討論思想、數形結合思想、轉化思想、函數思想、方程思想等;

2.解題思路：“動”中求“靜”? ? ?化“動”為“靜”? ?以“靜”制“動”（在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路，這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質）。

3.解題步驟：審（讀題目、找條件、分析運動變化的形式及過程，思考運動初始狀態時幾何元素的關系，確定可以求出的量）;

定（確定動點位置，畫出符合題意的圖形，尋找定點，化動為靜）;

寫（根據條件，將動點的移動距離以及解決問題時所需的條件用含t的代數式寫出來）;

列（利用特殊圖形的性質或相互關系，尋找等量列出方程或函數關系求解問題）

分類（分析特殊圖形的性質，考慮是否要分情況討論）

五、題目拓展延伸

（1）當 為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

（2）如圖①，設ΔAQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式;（在點P、Q運動過程中，ΔAQP的形狀和大小都會發生變化，那么它的面積會發生著怎樣的變化呢？能否建立面積與t之間的變化關系式呢？引導學生將問題再次改變）

（3）如圖②，連接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四邊形PQP/C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP/C為菱形？若存在，求出此時t的值;若不存在，說明理由。

用總結的方法解決逐級變式延伸的題目，達到舉一反三的目的，實現“一道通一類”！