排列組合中的雙重不相鄰問題解決策略

王志武

“不相鄰問題”高中數學（排列組合部分）非常典型的一類題，其專用方法是“插空法”，這種方法解決此類問題的確獨特.比如：

例1：甲乙丙丁4人并排站成一行，其中甲乙兩人不相鄰，那么不同的排法種數是

解析：插空法，分兩步進行：

第一步：先排丙丁，有 種方法;出現3個空，如圖

第二步：從3 個空中，選取兩個，插入甲乙，有 種插法.

由分步乘法計數原理得，不同的排法共 種.

筆者在教學過程中，發現許多此類“不相鄰”問題的延申問題，暫且稱為“雙重不相鄰問題”，其解決方法的本質仍是“插空法”.

例2：某次聯歡會要安排3個歌舞類節目，2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是（）

A.72? ? ? ? B.120? ? ? ? ?C.144? ? ? ? ? D.168

解析：插空法

A. 第一步：先排3個歌舞類節目，有 種方法;出現4個空，如圖

B. 第二步;其余節目，采用插空策略.因為中間兩個空必須插入兩個節目，再分類

① 如果中間兩空插入1個小品，1個相聲;再從剩余的2個空中選1個，插入另外1個小品.有? 種方法.

② 如果中間兩空插入2個小品，與3個歌舞類節目排好后，會出現6個空，再從6個空中選1個，插入1個相聲.共 種方法.

由分步乘法計數原理，共 種方法.

解題思路大體和例1，差不多.再看一個例題

例3：畢業晚會有3個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目，要求2個舞蹈節目不連排，3個音樂節目恰有2個節目連排，則不同的演出順序有幾種？

解析：第一步：先從3個音樂節目中任取2個，采用“捆綁法”作為1個大節目，共有 種方法.這樣，可以看成共有5個節目，其中2個音樂節目不相鄰，2個舞蹈節目不相鄰，這樣就可以轉化為類似于例2的情境.

第二步：可以根據曲藝節目所在位置，分類討論：

①曲藝? ?音1? ? ? 舞1? ? ? 音2? ? ? ?舞2

曲藝節目在第1或第5位置時，其余4個位置，音樂和舞蹈節目只能是間隔排列（如圖），這種情況下，共有 種方法.

② ? ?音1? ? ? 曲藝? ? ?舞1? ? ? ?音2? ? ? ? ? 舞2

曲藝節目在第2或第4位置時，其余4個位置，音樂和舞蹈節目也只能是間隔排列（如圖），同第一種情況，也是16種方法.

③ ? 音1? ? 舞1? ? ? 曲藝? ? ? 音2? ? ? ?舞2

音1? ? 舞1? ? ? 曲藝? ? ? 舞2? ? ? ?音2

曲藝節目在第3位置時，其余4個位置，音樂和舞蹈節目也只能是間隔排列，有兩種情況，如上圖，共 種方法.

由分步乘法計數原理得，共有 種方法.

通過以上幾個例子，我們可以發現，任何一道看似比較難的題，我們仍可以歸結到最基本的原理去解決.由此看出，打好基礎，對學習是多么的重要！