遴選問題情境 還原概念生成
——記一節優質課的設計與思考

朱 瀟 劉靜平 (湖北省黃石市第七中學 435000)

1 問題提出

從2003年《普通高中課程標準(實驗稿)》(以下簡稱“課標”)頒布，到新一輪高考改革及新版《普通高中數學課程標準(2017年版)》[1](以下簡稱“新課標”)實施，我們看到一線課堂中很多概念課的講授仍然是“一個定義、三項注意”，忽略了課標中提出的“還原知識的發生發展過程”的理念．新課標指出，在學習和應用數學過程中要發展學生六大數學學科核心素養．在概念教學中發展核心素養，更需要還原概念的生成過程，同時還需要遴選合適的問題情境．前者為發展核心素養提供了路徑，后者為發展核心素養提供了媒介．在一次優質課評選中，筆者設計了一節“拋物線及其標準方程”新授課，嘗試還原拋物線概念的生成過程，并始終圍繞一個問題情境展開，以下簡要闡述之．

2 教學設計片斷

教材(人教版，選修2-1)中以“信息技術與應用”欄目直接給出定直線和定點，讓學生借助幾何畫板找出拋物線上的點滿足的幾何關系，進而生成拋物線概念．由于前面橢圓和雙曲線的概念都是到兩定點的距離關系，而這里出現一個定點和一條直線，學生會思考:這條直線是什么？怎么來的？因此，拋物線的概念得出并不能由前面兩種曲線類比得出，應該另辟蹊徑．將物理中光的反射相關知識作為問題情境，學生經歷定點和定直線形成過程，并在曲線上點的運動變化中發現不變性．還原知識的發生發展過程，積累基本活動經驗，進而生成拋物線概念．

基于以上分析，將教學目標設定為：

(1) 通過凹面鏡上光的反射問題，借助幾何畫板，經歷拋物線焦點、準線形成過程，抽象出拋物線概念，提升直觀想象、數學抽象核心素養；

(2)類比橢圓、雙曲線標準方程推導流程，比較不同建系方法，協助學生推導拋物線標準方程，提升邏輯推理、數學建模、數學運算素養，進一步體會數形結合的思想；

(3)能用這節所學內容判斷阿基米德“火鏡”傳說的真假，并了解拋物線的光學性質在我國自主研發的射電望遠鏡上的應用，強化“數學來源于生活、應用于生活”的數學觀．

2.1 用數學的眼光觀察世界

師：大家在小時候有沒有聽說過阿基米德用鏡子燒毀敵人戰船的傳說啊？(邀請一位學生講述故事梗概，教師補充)

故事梗概：公元前213年，羅馬帝國想征服敘拉古王國，大量戰船開進地中海的西西里島，幾次鏖戰之后，敘拉古王國慘敗，最后他們想死死守住自己的城堡．聰明的阿基米德制作了很多大鏡子，鏡子為拋物面．在戰船開近城堡時，阿基米德讓鏡子一齊對準太陽，將太陽光反射到敵船上．不久，敵船船帆著火，火勢蔓延，船上的士兵嚇得膽戰心驚，紛紛跳水逃命．

師：你們覺得這個傳說是真的還是假的呢？(學生紛紛發表觀點)我相信通過今天的學習，大家就能夠有所判斷了！(圖1)

圖1

2.2 用數學的思維思考世界

圖2

師：太陽光近似為平行光，我們不妨借助幾何畫板，看看平行光照在曲面上會有什么特征(圖2)．

問題1所有反射光線呈現出什么特點？

教學預設 所有反射光線交于一點.

師：我們不妨把這個點記為F,即平行光照在曲線上，反射光線都匯聚于點F．從這一點來看，阿基米德用拋物面鏡燒船的傳說有一定的可能性．

師：在光學里我們學過，光路是可逆的，如果在F處放置一個光源，則反射光線全是平行的．大家能夠找到虛光源F′嗎(圖3)？

圖3 圖4

問題2當反射點改變時，光源F′呈現出什么特征？

教學預設F′的軌跡為一條直線(記為l)(圖4).

追問：拋物線上的任意一點O與定點F、定直線l之間滿足什么幾何關系？

教學預設 拋物線上點到定點的距離等于到定直線的距離.

問題3你能結合剛才找到的幾何關系給拋物線下定義嗎？

拋物線:平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.

追問：若l經過點F，則動點軌跡為什么圖形？

教學預設 軌跡為經過F且垂直于l的直線.

師：在學習了橢圓、雙曲線概念后，我們構建了其標準方程，類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為應如何建立拋物線的標準方程？

①建系設點;②列幾何關系;③列代數關系;④化簡驗證(KF=p，p>0).

圖5

教學預設 學生根據前兩節已有的知識經驗，在建系中最有可能出現以上三種建系方式(圖5)，分小組進行運算化簡后，對比化簡后的方程形式．

2.3 用數學的語言表達世界

師：在課程開頭，我們提到了阿基米德“火鏡傳說”的真假性問題，假設火鏡頂部距離敵船有100 m，你能用今天所學的知識判斷這個傳說的真假嗎？

教學預設 學生會從鏡子口徑、鏡子材料、聚光穩定性等方面分析．

師：“火鏡傳說”可能是子虛烏有的，但現實生活中卻有一個真實案例.我們國家設計出了一款名為“FAST”的射電望遠鏡(圖6)，就是根據拋物線聚光原理而設計的，我們不妨一起來了解下．

圖6

3 教學思考

(1) 創設合適的問題情境，為發展核心素養提供媒介

問題來源于情境，合適的情境有助于提出更有質量的問題．新課標指出，在教學活動中應結合教學任務及其蘊含的數學學科素養設置合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題．本節課始終圍繞拋物線的光學性質展開，跨學科的問題情境吸引了學生注意力，并且首尾呼應，一古一今、一假一真．在研究反射點的“變中不變性”時，拋物線概念在這個問題情境中自然而然得出，學生的數學抽象素養在情境、問題的有效互動中得以提升．

(2) 還原概念的生成過程，為發展核心素養提供路徑

數學抽象是數學概念生成的必由之路．還原概念的生成，是為提升數學抽象素養提供路徑．李邦河院士說：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也．”但是在一線教學中，還有很多教師直接拋出概念，然后通過設置例題、習題，以期通過題目鞏固概念的理解，這無異于揠苗助長．學生也只是表面理解、模仿操作而已．例如，給定一個函數，很多學生會求出導函數，但是對于導數的概念卻知之甚少．還原概念的生成，學生才能真正理解概念，進而理解數學本質．

(3)反思教材的呈現方式，為發展核心素養提供載體

教材是核心素養落地的載體．“教教材”是將教材作為一種權威，照本宣科；而“用教材教”是將教材作為一種資源，在教學中通過資源的組織、整合，轉化為教學智慧．本節課在教材的基礎上做了兩點處理：一是通過創設問題情境，生成焦點與準線；二是改變了教材中直接給出的“對稱建系法”．因為對定直線的理解上，對比前面橢圓、雙曲線定義，學生存在認知障礙；其次，在建系過程中學生最容易想到的不是課本中的建系方法，而是以準線所在的直線為y軸這種建系方式，應在此處放手讓學生進行思維的碰撞．最后對比分析，數學的對稱美、簡潔美就水到渠成了．