訂單成本與提前期相關下含次品的集成庫存模型*

□ 朱心怡，黃遠良

(桂林理工大學 商學院,廣西 桂林 541004)

傳統的經濟訂購批量模型假設銷售商從供應商訂購運輸來的產品是完全合格品，然而在實際中由于生產不完美或者運輸顛簸等原因會造成訂購批量中含有部分次品。Salameh等[1]最早構建了一個訂購批量中含有次品的經濟訂購批量模型，由于Salameh等[1]研究工作的突破性，后來研究者對該模型進行了各個方面的擴展研究。Hsu等[2]研究了允許庫存短缺且允許退貨下產品檢查存在誤差的次品經濟訂購批量模型。Su[3]研究了短缺需求完全拖后下銷售商可延期支付貨款的次品集成庫存模型。Taleizadeh等[4]研究了庫存短缺期間顧客需求部分拖后下次品可修復的經濟訂購批量模型。Tiwari等[5]研究考慮碳排放下同時存在產品變質與產品缺陷的庫存模型。Chen等[6]研究了庫存短缺下部分需求可用其他產品替代的次品庫存模型。

以上研究次品庫存的文獻均假設訂貨提前期為零，然而在實際中從銷售商發出訂貨申請到產品運輸到達銷售商庫存中需要一定的時間，這段提前期可長可短，但可以通過業務流程重組等方法來壓縮提前期。Sarkar等[7]研究了延期支付下提前期可壓縮的次品集成庫存模型。黃遠良等[8]研究了庫存短缺下訂購批量采用抽檢方式且提前期與丟單率相關的次品庫存模型。Das等[9]研究了銷售商的延期支付貨款期限依賴次品率的集成生產庫存模型。Priyan等[10]研究了延期支付下通過投資降低訂購成本且給予等待顧客一定的價格折扣的次品集成庫存模型。Tiwari等[11]研究了庫存短缺下通過投資降低生產啟動成本且給予等待顧客一定的價格折扣的次品集成庫存模型。在文獻[11]中訂單成本與提前期是相互獨立的，然而在實際中使用電子數據交換(EDI)可以同時減小訂單成本與提前期，即他們是相關的。故本文將文獻[11]進一步推廣到訂單成本與提前期是相關的情形。

1 符號說明與模型假設

符號說明：D合格品的市場需求率，P供應商產品生產率，S0供應商初始生產啟動成本，S供應商投資后的生產啟動成本，hb銷售商單位時間單位產品的庫存持有成本，hv供應商單位時間單位產品的庫存持有成本，s產品檢查速率，Cs檢查成本，C0次品的處理成本，y次品率，Q銷售商訂購批量，r銷售商再訂貨點，k安全庫存因子，L訂貨提前期，m運輸次數，πx拖后價格折扣，A銷售商訂單成本，μ錯誤接受次品的成本，μ0錯誤拒絕合格品的成本，θ單位時間單位資金的機會成本，m1合格品歸為次品的概率，m2次品歸為合格品的概率，C(L)提前期趕工成本，β需求拖后率，β0最大的拖后折扣，π0邊際毛利潤，σ提前期內需求標準差。

2 模型構建

2.1 銷售商單位時間成本

銷售商每次向供應商發出的訂購批量為Q，而供應商每次生產mQ批量的產品，并分m次等批量運輸到銷售商處。由于生產不完美或者運輸顛簸等因素，銷售商接收到的訂購批量Q中含有部分次品，次品率y是一個隨機變量。銷售商對全批量進行檢查，而批量檢查也存在誤差，即把合格品歸為次品(Ⅰ型誤差)與次品歸為合格品(Ⅱ型誤差)，最后，實際的次品率為ye=(1-y)m1+(1-m2)y。記其期望為Ye=E[ye]=(1-E[y])E[m1]+(1-E[m2])E[y]，那么銷售商期望訂購周期為Q(1-Ye)/D。

銷售商單位時間成本包括訂單成本、合格品與次品庫存持有成本、拖后成本、誤差成本、檢查成本、提前期趕工成本與次品處理成本，即

(1)

2.2 供應商單位時間成本

供應商單位時間成本包括投資降低生產啟動成本的費用、生產啟動成本與庫存持有成本，即[11]

(2)

綜合以上分析可得到由單一供應商與單一銷售商組成的集成庫存成本模型

(3)

(4)

當訂單成本與提前期無關時本文模型(4)式就退化為文獻[11]的模型，即本文模型是文獻[11]的推廣。

3 模型分析

命題1 給定Q、S、k、πx與m，集成庫存成本函數JETCU是關于L的凹函數。

證明：求JETCU關于L的一階、二階偏導數，得到

(5)

(6)

命題2 給定S、k、πx、L與m，集成庫存成本函數JETCU是關于Q的凸函數。

證明：求JETCU關于Q的一階、二階偏導數，得到

(7)

(8)

(9)

那么最優的Q*要滿足(9)式。

命題3 給定Q、S、πx、L與m，集成庫存成本函數JETCU是關于k的凸函數。

證明：求JETCU關于k的一階、二階偏導數，得到

(10)

(11)

(12)

那么最優的k*要滿足(12)式。

命題4 給定Q、S、k、L與m，集成庫存成本函數JETCU是關于πx的凸函數。

證明：求JETCU關于πx的一階、二階偏導數，得到

(13)

(14)

(15)

命題5 給定Q、k、πx、L與m，集成庫存成本函數JETCU是關于S的凸函數。

證明：求JETEU關于S的一階、二階偏導數，得到

(16)

(17)

(18)

那么最優的S*要滿足(18)式。

算法：

步驟1 令m=1,j=1。

步驟2 對每個Li，i=1,…,n；

2a令kj=0，πxj=0，Sj=S0；

2b把kj、πxj與Sj代入(9)式，計算得到Qj；

2c把Qi與πxj代入(12)式，計算得到kj+1；

2d把Qj代入(15)式，計算得到πxj+1；

2e把Qj代入(18)式，計算得到Sj+1；

2f把πxj+1、Sj+1與kj+1代入(9)式，計算得到Qj+1；

步驟6 若JETC(Q(m),k(m),πx(m),S(m),L(m),m)≤JETC(Q(m-1),k(m-1),πx(m-1),S(m-1),L(m-1),m-1)，則令m=m+1返回步驟2，否則轉到步驟7；

4 算例分析

表1 趕工成本與提前期的關系

表2 最優解的計算過程

表3 參數對庫存系統的影響

表4 初始訂單成本對庫存系統的影響

5 結束語

本文研究了銷售商訂單成本與提前期相關下存在產品檢查誤差的次品集成庫存模型，其中，供應商通過投資來降低生產啟動成本，而銷售商允許庫存短缺，在庫存短缺期間給予顧客一定的價格折扣，但對提前期需求僅知道其均值與方差。文章在構建相應的模型之后對其進行了分析，給出了5個命題，并設計一個算法求解最優解。最后，考察主要參數對庫存系統的影響。結果顯示，當考慮銷售商訂單成本與提前期相關時集成庫存成本會降低。本文可進一步推廣到延期支付貨款、動態定價等情形。