概念自然生成，定理探究論證

薛瓊

[摘? 要] “三角形的中位線”是初中幾何的重要內容，其中的概念與性質定理更是后續幾何問題突破的關鍵. 在教學中，需要基于其核心知識展開教學探究，將知識與思想方法進行整合，使學生體驗探究過程，完成知識內化、吸收的同時獲得思維的發展. 文章對其展開教學探討，提出了相應的教學建議.

[關鍵詞] 中位線;概念;生成;性質;探究;論證

“三角形的中位線”是蘇教版八年級下冊的教學內容，教材將其編排在平行線、全等三角形、平行四邊形之后，是后續中點四邊形及相似三角形探究學習的基礎. 教學中，需要使學生理解中位線的概念，掌握中位線的性質及定理，同時激發學生思考，提升學生的探究能力. 因此，在教學伊始，需要結合教學重點深入探討教學方式，合理設置教學環節，設計探究過程，確保課堂教學高效推進，下面對其展開探討.

概念引出，自然生成

新課程標準提出，課堂教學應注重知識的生成過程，因此，教學三角形中位線的概念時，應重視其背景，合理創設情境引入環節，拉近數學新知與生活實際的距離，促進課堂預設的自然達成. 創設情境引入時需要從兩個角度進行：一是聯系舊知，完成知識的過渡;二是設置活動，使學生深刻認識中位線.

“中位線”是三角形中重要的線段，教學時可以從學生已有的知識經驗入手，引出中位線，故教學中可提出如下問題：

（1）三角形中存在哪些重要的線段？這些線段有哪些特殊之處？

（2）這些線段有哪些應用價值？

通過設問進行引導，學生可以聯系知識經驗回顧高、中線、角平分線、垂線等三角形中的特殊線段，深刻認識特殊線段的特點.

在此基礎上，可設計動手活動來引出中位線：取△ABC中任意兩邊的中點，然后連接成一條線段，同學之間互動交流，觀察該線段，總結該線段具有哪些特點. 任取兩邊的中點可以獲得三角形的中位線，分析線段繪制的過程很容易獲得中位線的特性. 教學中，只需要對其繪制過程進行設定，給出中位線的定義，同時指出中位線的特點：三角形的中位線的端點為三角形中兩條邊的中點.

為強化認識，還可以采用對比探究的方式——在同一三角形中給出具有同一端點的中位線和中線，讓學生直觀認識兩者的差異，深刻理解中位線的概念，把握其特點.

如圖1，在△ABC中，點D和點E分別是線段AB和AC的中點，連接DE，DC，回答問題（選填“中線”或“中位線”）：

（1）線段CD是△ABC的_________;

（2）線段DE是△ABC的_________.

同時可引導學生填寫表1.

完成概念認知后還需要引導學生思考三角形的中位線的條數，思考在同一個三角形中可以繪制幾條中位線. 教學中，可以引導學生類比三角形的中線，根據中位線形成的過程來確定一個三角形的中位線有3條，同時讓學生互相觀察、對比所作的中位線，確定該結論（如圖2）.

中位線的概念是該部分教學的核心，采用聯系舊知、繪圖探究的方式可使學生體驗中位線形成的過程，從而把握其定義的內涵及特點. 而探究辨析的方式則可以使學生區分中線與中位線，正確認識三角形的中位線，其中滲透的對比思想和類比思想對學生的思想提升極為有利.

活動探究，性質提取

中位線的性質探究是中位線內容的進一步學習，是在中位線概念基礎上的探究推進，同時也是對三角形中位線的深入認識. 該過程需要從“概念的直觀認識”過渡到“性質的數形認識”，其中涉及中位線的位置關系和數量關系，探究內容具有一定的難度，可采用活動探究、問題引領的方式，即引導學生在活動中發現三角形中位線的性質，在思考中提取其性質.

三角形的中位線性質有兩方面內容，包括位置關系——與第三條邊平行，數量關系——長度是第三條邊的一半. 探究性質時需要對其加以區分，分別設置探究活動，建議采用“觀察—猜想—驗證”的思路，同時結合具體的模型進行直觀量化分析.

探究性質過程中，可先引導學生將三角形硬紙板沿著其中一條中位線剪成兩部分，按照圖3的方式進行圖形拼接，然后引導學生觀察四邊形BCFD是什么圖形. 通過直觀的拼接，學生可以初步得出該四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形成立的條件可以初步做出如下猜想：三角形的中位線平行于第三條邊，且長度是第三條邊的一半.

猜想研究階段，可同樣結合對應的探究活動. 以長度關系為例，可以借助直尺，通過精準的測量來論證，活動如下：對于圖4中的△ABC，ED是三角形的中位線，請大家拿出直尺分別測量線段ED和BC的長度，分析這兩條線段之間的長度關系. 它們是否相等？若不相等，是否存在特殊的數量關系？

對于平行關系的驗證，同樣可以采用度量的方式，只需要借助矩形的性質即可. 可設置如下活動：（在圖4的基礎上）在△ABC中，分別過點E和點D作底邊BC的垂線，垂足分別為E′和D′，如圖5. 然后用直尺分別測量線段EE′和DD′的長度，分析這兩條線段之間的長度關系，思考四邊形EE′D′D的形狀，可以得出ED與BC有怎樣的位置關系？

進行教學引導時需要具有一定的邏輯性，可按照如下思路進行：EE′=DD′，EE′∥DD′→四邊形EE′D′D為平行四邊形→ED∥BC，即結合作圖得出EE′∥DD′，聯合度量獲得的EE′=DD′來確定四邊形EE′D′D為平行四邊形，進而確定ED∥BC，從而初步得出三角形的中位線與第三條邊平行.

上述探究三角形中位線的過程采用了“直觀猜想—度量驗證”的方式，通過拼圖對中位線的兩個性質做出猜想，然后結合度量來完成初步驗證，學生可以充分參與探究活動. 在活動中，學生的感性認知和理性思維均得到了極大的鍛煉，其中領悟知識是探究過程追求的重點，傳達的方法是重要技能，而發展學生的數學思維是核心.

模型構建，論證定理

上述對三角形的中位線性質進行了初步猜想與驗證，但需要指出的是，驗證活動的過程采用的是直尺度量的方式，顯然度量所得到的數據誤差較大，所以其可以作為猜想性質的依據，但不能作為生成性質定理的論據. 數學是一門邏輯性強、科學嚴謹的學科，在驗證、歸納定理階段需要按照數學的證明方法，由數學的定理結論進行演繹推理.

論證三角形的中位線的性質定理實則就是證明所設兩條線段之間的數量關系和位置關系，其中的數量問題需要分析其中的倍數，位置問題則是證明其中的平行關系. 從不同的視角來分析可以獲得不同的證明思路，其中添加輔助線、構建模型是論證的關鍵. 教學中可以按照“思路分析—輔助線添加—過程論證”的思路，下面提出兩種論證思路（下面的論證思路中，均有E，O分別為AB，AC的中點）.

1. 論證視角——截長補短

該視角需要通過截取的方式來完成轉化，實則為數學的全等轉化. 教學中需要指出該視角的內涵所在，然后在此基礎上展開思路構建.

模型構建：如圖6，過點C作CF∥AB，與EO的延長線交于點F，從而可得△COF.

論證思路：模型構建的核心是CF∥AB，則平行性質→∠AEO=∠CFO（兩直線平行，內錯角相等），結合AO=CO（已知條件）和∠AOE=∠COF（對頂角相等）→△AOE≌△COF→AE=CF（全等三角形的性質）→CF=BE（等長轉化），綜合CF∥BE→四邊形BCFE為平行四邊形→EO∥BC.

另外，△AOE≌△COF→EO=OF（全等三角形的性質）→2EO=BC（等長轉化）→EO=■BC.

2. 論證視角——幾何旋轉

該視角需要對其中的三角形進行旋轉，利用旋轉的特性來完成論證，實則還是數學的全等轉化. 教學中應該詳細描述旋轉過程.

模型構建：如圖7，將△AOE以點O為旋轉中心，繞點O順時針旋轉180°后得到△COF.

論證思路：模型的核心是△AOE≌△COF（旋轉特性），利用其中的全等特性顯然可以確定EO=■EF，同時可推知四邊形BCFE為平行四邊形，進而獲得EO∥BC，EO=■EF=■BC.

上述呈現了三角形中位線性質定理的兩種論證視角，但求證的核心均為三角形全等的性質定理. 教學中，教師有必要引導學生對不同的論證思路加以辨析，明晰論證的核心定理，掌握幾何證明的過程，即添加輔助線構建模型，利用幾何定理展開關系推導. 同時定理論證的過程中滲透了數學的模型思想、轉化思想，以證明、推理為依托展開思想方法教學，有助于提升學生的數學思想，這是數學教學的重要任務之一.

總之，對中位線的概念、性質定理和論證過程加以探究有著重要的教學意義，在探究教學中，學生可以體驗知識建構的過程，能喚醒學生的數學思維，能使學生掌握數學探究的方法與手段，同時獲得數學思想的提升，知識學習和思維發展均推向了頂峰.