從經典的摸球模型理解傳染病的傳播

譚姣妮

【摘 要】試圖結合現在的實際教學與實踐，把概率論中從最常見的摸球模型來簡單的講解傳染病的隔離治療的必要性從而更好的提高學生在概率論學習過程中對于各種概率對現實意義的理解。

【關鍵詞】摸球模型;傳染病;現實意義

一、引言

今年以來新冠病毒在世界范圍內傳播造成了很多人的死亡，也為世界經濟和和平造成了巨大的損失，目前為止每天的新聞報導中新冠的得病人數依然在不斷上升，死亡人數也是觸目驚心。我們的國家在隔離治療的過程中取得了很好的效果，雖然戴口罩是個很簡單的防護但是不可否認這個必要的步驟對于新冠的傳染有很好的阻斷作用。也因為新冠病毒的大規模傳染讓人們開始從各個不同的角度來認識傳染病傳播模型但是有些真的非常的專業對于大部分而言就是一篇篇高深的學術論文根本無法看懂。所以我想結合我們概率論中古典概型中最常見最好理解的摸球模型來簡單直觀的淺顯的講一下傳染病模型，讓大部分學生學以致用更好的理解概率論的現實意義，以提高對概率論學習的興趣。

二、摸球模型

1.古典概型是概率論中非常重要的一個一種概型，它是概率論發展初期的主要研究對象，它有兩個要求：1試驗的樣本空間只包含有限個元素即結果的數量是有限的，2試驗的每一個基本事件發生的可能性是相同的。現實生活中這樣的試驗是大量存在的，所以具有一定的實際意義，又由于等可能概型的一些概念具有直觀而且容易理解的特點，所以在現實中有著廣泛的應用。

2.摸球模型的來源：因為古典概型在現實生活中有著廣泛的應用而且結果直觀好理解，為了試驗的方便以及為了更直觀的講解實際問題所以很多古典概型的試驗就用建立了各種摸球的模型來直觀有效的講解各種實際問題，所以在概率論的學習初期大家就會見到很多的摸球問題。

3.摸球模型的建立規則：我們最常見的摸球模型的基本構成就是一個袋子里面裝著幾個球，其中有幾個黑球，幾個白球或者紅球，這些球除了顏色以外沒有任何區別也就是說我不可以通過直接觸摸來判定我摸到的是什么顏色的球，同時又有兩種基本的摸球方式一種叫放回抽樣，字面上講就是摸出球后對于結果進行記錄后再下一次摸球前將摸出的球放回袋中攪勻后再進行下一次的取球;另一種叫不放回抽樣，字面上講就是取出球后就不放回去了。

4.摸球模型來模擬傳染性模型的用意：摸球模型簡單易懂好理解，即使沒有很高的文化修養只要有一定的常識的小朋友都能夠大致的理解所以用摸球模型來做一些簡單的科普是比較容易的。所以我們就此講一個最簡單易懂的摸球模型來大致模擬一下傳染病模型。

5.波利亞摸球模型：在概率論課上講全概率公式條件概率時我們經常會講這么一道例題：

設袋中裝有r紅球，t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色后放回，并且再放入a只與所取顏色相同的球，那么若在袋中連續取球4次，試求第一第二次取得紅球第三第四次取得白球的概率。

解：設以Ai（i=1，2，3，4）來表示事件“第i次取得紅球”，則A3，A4分別表示第三次，第四次取得白球。

其實這道題是一個非常典型的摸球問題，基本上要求所有學習概率論的同學都必須會做的，可是你知道嗎這就是波利亞用來描述傳染病的模型。

三、實際意義

怎么才能把這么一個經典的摸球問題與傳染病聯系起來呢？這個模型的最大特點是每一次取出球后就會增加與取出的球相同顏色的球的個數，而與取出球不同顏色的球數量不增加，這樣每次取出的球什么顏色就增加了下次也取得這種顏色球的概率。如果我們將其中一種顏色的球代表被感染者，另一種顏色的球代表未被感染者，增加的球就是可排除的或者再感染者，這樣我們就很容易得到了一個傳染病的模型，由此也就很容易得到一個非常淺顯的道理，每發現一個患者就會增加再傳染的概率，同時我們也可以從這個摸球的模型中非常直觀的理解傳染病模型的簡單規則以及及時有效進行隔離治療，對于可能存在的在感染人群的隔離的必要性，這樣我們就很容易理解我們國家在新冠疫情下做出的決定是非常必要和有效的，事實也證明了這一點。實際上這么一個簡單的摸球試驗不僅僅可以解釋傳染病也可以從另一個角度來解釋別的問題例如：假設現在有一種傳染性疾病，我們近期發現了一種新的治療方案，為了研究這種新方案的效果，我們需要抽取部分病人做醫療研究并和采取傳統治療病人做對照試驗，這樣的話對照組合實驗組的人數是必須完全相同的，但是如果這是一種致死率相當高的疾病那么這種實驗顯然是不太理想且不太合適的，這時候我們的波利亞罐子模型的作用就體現出來了，模型中的紅球和白球分別代表使用新舊兩種方法的的人數，用取球后加入個相同顏色的球來模擬一個病人傳染給了個病人。假設共有個病人使用了新方法，個病人使用了傳統方法，個人中方法A且治愈了，個人用方法B且治愈了，用方法且治愈的概率為，未治愈的為;用方法且治愈的概率為，未治愈的概率為，這樣也可以很直觀的評價這種的新治療方案是否有效但是當然了在實際應用中不可能如此的簡單粗暴但是這種簡單的模型確實可以在很大程度上幫助我們理解和應對現實問題。所以在現實生活中波利亞的這個模型在醫療評價中也發揮了極大的作用，尤其是對于傷害極大無法設計對照試驗的傳染病研究有極重要的意義。

波利亞罐子模型實際上就是一個概率論中非常金典的摸球例題，很多人覺得這么簡單根本沒不要去學大家都知道的東西沒有必要學習也對概率論學習有很大的抵觸情緒覺得就這么幾種球摸來摸去沒有任何意義就是教師在為難學生，實際上一個簡單的摸球問題很可能就是生活中一種常見現象的實際映射只不過用摸球的方式來簡單直觀的解釋了實際生活中的實際問題。我希望通過一些經典例題的講解讓更多的學生能夠理解概率論的實際意義并學會建立模型將麻煩的問題簡單化數字化更好的使用概率論的原理將生活過得更美好。

【參考文獻】

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