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復(fù)數(shù)在解題中的運(yùn)用

2020-09-10 17:10:53劉建國
高考·上 2020年6期
關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)

劉建國

摘 要:復(fù)數(shù)的代數(shù)、向量以及幾何表示把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、向量、三角和解析幾何有效的聯(lián)系起來,因而復(fù)數(shù)在求解代數(shù)、三角、向量和解析幾何問題中有著廣泛的運(yùn)用,筆者借助于數(shù)學(xué)中的這種對應(yīng)思想闡述復(fù)數(shù)在解題中的運(yùn)用,解決高中的一些數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵字:復(fù)數(shù);復(fù)數(shù)幾何;表示對應(yīng)思想解題

復(fù)數(shù)可以由一個有序?qū)崝?shù)對唯一確定,使得我們借助于復(fù)平面來表示復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的幾何表示與向量以及解析幾何本質(zhì)上都是表示在平面直角坐標(biāo)系兩個變量,將平面直角坐標(biāo)系看作復(fù)平面,則復(fù)數(shù)對應(yīng)于坐標(biāo)系的一個點(diǎn),因而復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的,那么在平面直角坐標(biāo)系中的一些問題,也可以借助于復(fù)數(shù)的知識解決,這種對應(yīng)思想是數(shù)學(xué)中解題常用的思路,它使得各個數(shù)學(xué)對象能夠相互轉(zhuǎn)化,相互結(jié)合和深入,在解題方法上呈現(xiàn)多樣化,也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系,而非一個個孤立的知識點(diǎn).

例1(2019全國卷I)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

解z=x+yi,所以|x-1+yi|=1,即:(x-1)2+y2=1.

上題主要考察復(fù)數(shù)的幾何意義,在復(fù)平面上的一個復(fù)數(shù)對應(yīng)于平面直角坐標(biāo)系中的一個點(diǎn),它表明點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系滿足一個圓的關(guān)系,那么對于一般的圓錐曲線上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)也滿足一個方程的關(guān)系,曲線上的點(diǎn)同樣也可以用復(fù)數(shù)表示,這種思路可以幫助我們解決一些圓錐曲線問題,如:

解析幾何一直是高考的一個重點(diǎn)與難點(diǎn),其主要考察的是直線與圓錐曲線、圓的一些問題,對于直線方程,我們可以借助于復(fù)數(shù)的知識,利用復(fù)數(shù)表達(dá)直線方程:設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,在復(fù)平面上所在的直線方程為:z-z2=t(z1-z2)(其中t為參數(shù)t∈R).這個方程可以幫助我們解決圓錐曲線與直線的相關(guān)問題.如:

例2(2019江蘇高考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的焦點(diǎn)為F1(-1,0).F2(1,0),過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B,連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連接DF1,已知

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)

解(1)由題意可知:c=1,,則D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為,F(xiàn)1對應(yīng)的復(fù)數(shù)為,,于是有:,解得:a=2或(舍),于是=b2=a2-1,即:b2=3,所以橢圓方程為.

(2)根據(jù)題意圓F2:(x-1)2+y2=16,其參數(shù)方程為,橢圓的參數(shù)方程為根據(jù)題意A(1,4),設(shè)A,B,E對應(yīng)的復(fù)數(shù)為ZA=1+4i,ZB=4cosθ+1+i4sinθ,ZE=2cosφ+isinφ,∵A,B,F(xiàn)1三點(diǎn)共線,(t為參數(shù)),將上述復(fù)數(shù)代入可知:根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可知,sinθ=t,∵cosθ2+sinθ2=1,即,∴t=1或,∴ZB=1+4i(舍)或,又∴B,E,F(xiàn)2三點(diǎn)共線,(λ為參數(shù)),代入可知:,,同上解得,或,或,E在第三象限,,則.

在平面直角坐標(biāo)系中,利用單位圓引入了三角函數(shù),單位圓上的復(fù)數(shù)可以表示成三角函數(shù)和的形式,即,根據(jù)復(fù)數(shù)的三角式運(yùn)算法則及棣莫弗定理,正是復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的這種對應(yīng),在解題上給了我們一定的啟發(fā)與思考,不妨借助于復(fù)數(shù)的知識解決三角函數(shù)的有關(guān)問題.三角函數(shù)在解三角形中有著廣泛的應(yīng)用,因而復(fù)數(shù)也可以運(yùn)用于解三角形,在三角函數(shù)與解三角形的本質(zhì)上是復(fù)數(shù)的三角表達(dá)形式與復(fù)數(shù)的性質(zhì)處理三角函數(shù)的問題。

參考文獻(xiàn)

[1]苗慶碩,藍(lán)云波.例談利用復(fù)數(shù)解題的幾種新視角[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2019(12):21-24.

[2]彭翕成,張景中.點(diǎn)幾何的解題應(yīng)用:復(fù)數(shù)恒等式篇[J].數(shù)學(xué)通報,2019,58(05):1-4.

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