高中數學解題方法及技巧探究

馬長青

摘 要：新課改視域下，高中數學教師重視培養學生思考能力和解題能力，這對高中生全面發展、數學教學工作優質開展有積極影響.現下，高中數學知識點較復雜，這在一定程度上對數學解題技巧及方法提出了較高要求.要想準確、快速求解，并獲得理想的數學成績，應深入探究數學解題技巧及實用性方法.希望該論題能為高中數學教師在解題方面提供思路，進而實現個性化人才培養、素質教育改革深化的目標.

關鍵詞：高中;數學;解題方法;解題技巧

高中數學學科的理論性較強，對于高中生來講，應不斷提升自身邏輯思維能力，以便靈活解答各類題型，進而順利完成高中階段教與學目標.要想真正鍛煉數學綜合能力，結合數學學習實際探索解題方法及技巧是極為必要的.下面筆者結合相關理論及數學實例予以探究，探究內容如下.

一、高中數學題難點分析

受應試教育理念影響，高中師生的獨立思考能力逐漸弱化.然而，數學題的出題思維日益新穎化，對于解題者來說，應靈活運用數學知識點，并結合自身情況，探索適合的解題技巧.下文從學生角度和教師角度分析數學難題.

1.學生方面

部分高中生運用初中階段的定勢思維來解答問題，實則，問題解答環節存在重重阻力，長此以往，只有極個別高中生能夠迎難而上，這對學生解題自信心樹立、解題效率提高有不利影響.究其原因，初、高中數學的解題思維存在差異，相對來說，高中數學題的解答注重知識點的綜合運用，且答題者的靈活思維能力被提出了較高要求.若高中生未能意識到這一點，極易遇到解題阻力.

2.教師方面

高中教師以集體授課方式傳授數學知識，實際教學中，教師既要備學情，又要備教材，加之，高中教學時間緊湊、教學任務繁重，大多數教師為完成上級規定的教學任務，往往以題海戰術的方式鍛煉學生答題能力.殊不知，這對數學教師教學能力提升、鉆研意識培養有不利影響，最為關鍵的是，數學教師的審題水平及引導能力會逐漸降低.

二、高中數學審題技巧

數學題解答的前提，是認真審題，基于審題環節獲知顯性條件和隱性條件，這在一定程度上影響解題速度和求解準確性.下文通過理論與實例結合的方式分析審題技巧，以便為高中生提供思路.

1.題干條件分析

題干信息內容為數學題解答提供方向，要想順利完成解題目標，解題主體應全面掌握已知條件、細致分析潛在條件，必要情況下，通過條件轉換來簡化解題程序，進而在短時間內準確求解.

例如，已知m2+（t-2）m+t-1=0的兩個根為m1和m2，而點M（m1，m2）在圓m2+q2=4上，求t值.

題干分析 閱讀題干獲知已知信息，因M在圓m2+q2=4上，意味著M坐標適用于圓m2+q2=4這一方程;m1和m2為方程兩個根，言外之意，m21+（t-2）m1+t-1=0，m22+（t-2）m2+t-1=0.基于顯性條件無法求解，要想實現求解目標，應深層次挖掘隱性條件.

2.關聯性分析

縱使獲知題干顯性條件，但求解過程仍存在一定阻力，在此期間，應針對已知條件和求解目標關聯式分析，以期獲得解題關鍵點.需注意的是，解題主體應具備推理意識和反思意識，同時，借助草圖勾勒、運算分析等方法探索解題突破口，使復雜問題簡單化.

仍以上述例題為例，已知m2+（t-2）m+t-1=0為一元二次方程式，關聯式分析時，引入拋物線f（m）=m2+（t-2）m+t-1，方程兩根m1、m2即拋物線與橫軸交點，分別為（m1，0）和（m2，0）.基于拋物線的性質，（m1，0）和（m2，0）呈軸對稱分布，獲知m1+m2=2-t，基于上述已知條件，能夠順勢求解.

3.梳理解題思路

數學題解答的過程中，高中生應分析題干條件、求解目標等內容間的聯系，實則，即數學定理、定義、性質在其中靈活運用的過程.對此，應梳理解題思路，將理論內容與求解要素相匹配，以便實現多條件求解目標.

如上述例題所示，在解題思路的正確引導下，逐步獲知m21+（t-2）m1+t-1=0、m22+（t-2）m2+t-1=0、m1+m2=2-t等條件，最后通過三元二次方程組求得t值.

同一數學題的解題方法有多種，但解題的前提，即掌握審題技巧，這能為后期數學題順利解答助力.下文詳盡分析數學題解答的有效方法，希望能為高中生提供幫助.

三、高中數學解題方法

1.轉化法

轉化法又被稱為轉換法，通過轉變數學思維、拓展題干分析思路來獲知解題對策.該方法實踐的過程，即復雜知識點簡單化、抽象知識點具體化的過程.對于解題主體——高中生來說，能夠樹立解題自信心，并從中感受解題樂趣，最終數學題能夠順利解答.

例如，函數H=Bx2-x-B（B>0，B≠1）有兩個零點，求B取值范圍.

解析 數學解題思想轉變后，可知解題切入點為零點定義、區間、意義等.應用轉化法將這一函數分解成兩個函數，即H=Bx2（B>0，B≠1）;H=x+B.畫圖可知，兩函數的交點數量為一個，對應的區間即01，這符合題干立意.

又如，3m+4n+P=0和（m=1+cosθ，n=-2+sinθ），二者無公共點，求參數P取值范圍.

解析 根據題干信息進行問題轉換，即4sinθ+3cosθ=5-P，由于直線與圓無交點，且15≤4sinθ+3cosθ≤5，求得，P>10或P<0.

2.反證法

反證法在數學題解答中較常用，即在逆向思維的輔助下推理式分析，最終證實結論與數學定理、定義相背離，間接得知原始命題的合理性.對于大多數學生來說，慣用正向思維來求解，實際上，正向推理分析法并不適用于所有數學題的求解，相反，反向推理分析法能夠挖掘潛條件，進而實現求解目的.

例如，某高校二年級630人，針對每位學生的課余時間利用情況調查分析，通過抽取年級段30%學生予以調查.其中，顯性條件即年級人數和百分比，得知，調查學生數量為189人.若命題不成立，需假設推理，直到獲知與原題存在出入之處，憑借對比依據來求解.

又如，已知A≠0，證方程Ax=B僅一個根.

解析 應用反證法對其闡述，假設Ax+B=0（A≠0）根數量最少為兩個，設根分別為P和Q，且P≠Q，故而，AP=B，AQ=B，AP=AQ，即A（P-Q）=0.由于P≠Q，意味著P-Q≠0，等式成立的前提條件，即A=0，這與題干A≠0這一條件相矛盾，即假設不成立，因此，Ax=B僅一個根.

3.換元法

高中數學題多以整式形式呈現，如果學生僅從整式入手，這不僅會浪費解題時間，且求解結果的準確性得不到保證.解答此類數學題時，運用換元法來求解是極為必要的，即通過變量替換來整合表達式，最后通過求解替換變量來實現解題目標.

例如，實數m、n滿足4x2-5xy+4y2=5，設K=x2+y2，求代數式1Kmax+1Kmin的值.

解析 為實現整式優化目的，憑借換元法完成K=x2+y2的替換.在此期間，運用三角函數知識輔助求解，因sin2a+cos2a=1，將其替換題干x值和y值，最后通過整式代入求得x=ksina，y=kcosa，最后代入4x2-5xy+4y2=5這一方程，根據三角函數值域-1，1求值.

換元法的解題實用性較強，對此，高中生應掌握換元法應用技巧，以此提高解題效率.這對日后數學知識學習和習題解答能夠起到基礎鋪墊作用，最終保證求解準確性和全面性.

4.討論法

討論法在數學題解答中較常用，這一方法應用的過程，即高中生思維能力鍛煉、全局意識培養的過程.分類討論法應用期間，遵循對象確定→擬定分類標準→討論分析→獲知討論結果.

例如，假設集合M={a∈P|a2+4a=0}，集合N={a∈P|a2+2（t+1）a+t2-1=0，t∈P}，若集合N包含于集合M，求實數t的范圍.

解析 已知集合M={0，-4}，且集合N包含于集合M，情況一，當M=N時，N={0，-4}，即-2（t+1）=-4，t2-1=0，得出t=1.當N≠M時，N同樣分為兩種情況，分析如下：

當N=時，Δ=4（t+1）2-4（t2-1）<0，得出t<-1.

當N≠時，即N={0}或者是N={-4}.

當a=0時，t=±1，而當a=-4時，t=7或者是t=1，由于Δ=4（t+1）2-4（t2-1）=0，故而，t=-1.

可知，實數t的取值范圍是t=1或者t≤-1.

5.特值法

特值法用于解答高中數學題，既能節省大量的解題時間，又能全面把控求解誤差.下文進行實例分析，以期了解特值法的應用價值.

例如，等差數列{an}，它的前m項之和等于30，前2m項之和等于100，求前3m項之和.

解析 假設m=1，等差數列的前m項之和、前2m項之和分別為S1=30，S2=100.第一段P1=S1=30，第二段P2=S2-S1=70，段公差D=P2-P1=40，則第三段P3=P2+D=110.那么前3m項之和等于P1+P2+P3=30+70+110=210.

6.排除法

應用排除法進行數學題求解時，往往通過選項排除的方式來尋找正確答案，可見，該方法在選擇題型中較常用.

例如，不等式mn2+2mn-4<2n2+4n恒成立，則m的范圍是（）.

解析 當m=2時，則-4<0，這與題目立意一致，故而，A選項和B選項排除.當m=-2時，則（m+1）2≥0，不恒成立，此時排除選項C，最終正確答案為D.

綜上所述，高中數學題解答的過程中，應掌握審題技巧，并合理運用解題方法，這既能提高解題效率，又能保證求解的準確性.可見，本文通過理論與實例結合的方式進行論題探究，這能為數學教學者以及高中生提供參考，確保數學解題任務順利完成.

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[責任編輯：李 璟]