巧用三角函數計算不定積分

劉偉彥 殷子超 尹遜汝

【摘要】不定積分的計算是高等數學中的一個重要內容。本文給出幾種巧用三角函數關系計算不定積分的方法。

【關鍵詞】不定積分;三角函數;三角代換

1引言

不定積分是數學中的有力工具，其重要性不言而喻。計算不定積分的方法不勝枚舉，而有些不定積分的計算，如果采用的方法得當，將會變得更為簡便。三角函數擁有特殊的性質與關系，利用其特殊關系，也會使計算不定積分更加便捷。

2巧用三角函數計算不定積分

下面給出利用三角函數的關系計算不定積分的幾種方法。

2.1切割化弦

基本積分表中沒有切割函數的不定積分公式，但有正弦函數和余弦函數的原函數，因此，可利用切割化弦的方法來計算切割函數的不定積分。

例1 求。

解：

例2 求。

切割化弦是解決有關三角函數問題的常用技巧，如果看到切割函數而沒有明確的思路的話，不妨試一試切割化弦，往往會使問題迎刃而解。

2.2導數關系

可以利用同角三角函數之間的導數關系，如 等和第一換元積分法（湊微分法）結合來計算某些三角函數的不定積分。

例3 ?求。

例4求。

例5求。

2.3平方關系

利用同角三角函數之間的平方關系，如，再結合其它方法來計算不定積分。

例6 求。

例7求。

2.4倍角公式

利用二倍角公式，化簡被積函數，再計算不定積分。

例8 求。

例9求。

這兩個例題中的不定積分可以通過應用二倍角公式，使問題簡化 。三角函數公式的正用逆用熟練掌握后，可以發現，三角函數的靈活性是不可比擬的。

例10 求。

解：（法一） 湊微分

（法二 ）積化和差

2.5萬能公式

當被積函數是三角有理式時，可以嘗試萬能公式代換，往往會有效果。

例11求。

3結語

三角函數公式繁多，三角函數的性質與關系非常特殊，使用起來也極其方便，三角函數的靈活性是不可替代的，利用三角函數的靈活性可以大大簡化不定積分的計算。因此，熟練掌握三角函數的公式是重中之重，是大前提。其次，不定積分重在方法，妙在思路，當我們第一次遇到某些題型時，苦苦思索卻無從下手，想盡一切辦法搞明白時，卻發現那些思路是多么精妙。在我們伸頸、側目、微笑、默嘆、以為妙絕之余，我們也不斷積累了方法技巧，逐步打破瓶頸。但這些思路不是憑空想出的，而是通過練習不斷積累的，熟練掌握公式并不斷積累，對于不定積分的學習而言必將大有裨益。

致謝

本論文得到泰山學院教學改革項目201837，201809及項目2019HX246與2019HX247的資助。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學科學學院.數學分析第五版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2] 劉琳.求不定積分幾種常用方法[J]，科技經濟導刊，2019（27）：141-142.

[3]范君好，定積分計算中的技巧分析[J]，桂林師范高等專科學校學報，2015（29）：176-179.

[4]金順利，楊世民，關于不定積分的一題多解[J]，滄州師范專科學校學報，2001（03）：35-36.