“幾何直觀”在運算教學上的運用

曾慶欣

曾經有老師認為，讓學生熟記解決問題的十一種關系式，好比搭建了建筑工地的腳手架，是幫助學生解決問題的關鍵。掌握了這是十一種數量關系式，不管在低年級還是高年級，都可以“通殺”。如二年級認識除法，有老師會根據找關鍵字詞讓學生找出哪個是“每份數”，哪個是“份數”，哪個是“總數”。然后根據問題，求“每份數”用除法，用上“總數÷份數=每份數”，或求“份數”用除法，關系式是“總數÷每份數=份數”去解決問題。只要學生會找出“每份數”、“份數”和“總數”，知道求每份數和份數都用除法計算，能把題目做對就可以了。可是，學生真正掌握除法的意義了嗎？長期下去，學生只會養成套公式的習慣，而不是根據運算意義去解決問題。這對于學生來說是百害而無一益的。那特別在剛認識運算的時候，怎樣的教學能有助于學生理解意義呢？今天，就新教材二年級的認識《除法》談一談自己的做法和感受。

現在新教材的教學內容，是配合2011版新課程標準的制定來編寫的。在《標準（2011年版）》里，新增加了“幾何直觀”這一核心概念。里面指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。因此，我們在教學除法的時候，也可以借助“幾何直觀”來幫助學生理解除法的意義。

一、借助“幾何直觀”，生動形象，理解本質

借助幾何直觀，是脫離實物認識事物的進一步提升。在認識除法之前，學生要先理解什么叫“平均分”，并且明白什么叫“均分”和“包含”的意義。這些都是認識除法的基礎。在新教材的例題里，創設了很多情境，如分橘子、分酸奶、分果凍等讓學生通過動手分一分，甚至還有些練習可以通過直接在圖上畫一畫、圈一圈等方法去理解“均分”和“包含”的意義。可是有些情境，特別是“均分”的意義，直接在原圖上很難體現“平均分”的過程，而且，每次都要借助實物來擺，也不很科學。因此，我會讓學生嘗試把實物抽象為幾何圖形，通過畫圓圈或小棒來代替實物，畫出等分的過程。如練習二第3題“把12個風車平均分成3份，每份（ ）個。”我會讓學生畫出12個圓來代替風車，然后帶箭頭在下面畫上3個大圓圈表示平均分成3份。如圖：

每次選取3個平均分到3個大圓圈里，每份保證分得1個，接著再拿3個再進行平均分，一直分到沒有為止。這樣，學生就能對“平均分”這個過程有了一個充分的認識。并通過多次運用這種“幾何直觀”的實踐活動，逐步掌握“均分”的本質意義。

二、借助“幾何直觀”，找準聯系，避免混淆

我們都知道，除法有兩種意義。一種是“等分除”，即“把總數平均分成幾份，求每份是多少”。另一種是“包含除”，表示“總數里面包含了幾個幾。”教材的編排，是先認識“平均分”，然后通過畫線、畫一畫、圈一圈、擺一擺等方法認識“均分”的意義，和“包含”的意義，再去運用“等分除”和“包含除”去解決問題。但是在教學中發現，學生若脫離了動手操作，分一分或圈一圈的形式，對用除法解決問題，特別是當只有純文字的時候，學生可能只會列式（可能跟整個單元都是除法的知識有關），但被問到“為什么要用除法算？”學生卻說不出個所以然，或者是對“等分”還是“包含”的概念很模糊或者混淆。再到后面若同一道題，既出現用乘法解決，又出現用除法解決問題的時候，能力較差的學生就會無所適從。因此，借助“幾何直觀”來分析題目尤為重要。步驟主要有一下三點：1.找出題目中相關的信息和問題，分別用尺子和波浪線畫下來;2.用畫圖的方法來整理條件和問題，學會表達題意;3.根據圖意列式計算，并檢查。

如書本第27頁第4題，這是一道綜合性非常強的一道題。（1）每個花瓶插5根羽孔雀毛，4個花瓶可以插多少根？（2）每個花瓶插6根孔雀羽毛，24根孔雀羽毛可以插幾個花瓶？（3）有10根孔雀羽毛，平均插在2個花瓶里，每個花瓶插幾根？（4）有10根孔雀羽毛，插在2個花瓶里，一個花瓶插6根，另一個花瓶里插幾根？

像這樣，簡單的幾何圖形，簡單的符號，就能直觀地解釋了數學知識的本質與關系。長期培養學生運用這種幾何直觀地方法來進行學習，可以幫助學生把困難的數學問題變得容易。

三、借助“幾何直觀”，能力提升，學以致用

通過一段時間的畫圖訓練，絕大部分的學生都能基本掌握好解決問題的方法及分清了數量之間的關系，能根據意義運用正確的方法去解決問題。如在教學第四單元42頁：“56元能買幾個8元的地球儀？”大部分學生都基本能獨立通過畫圖想到實際是求“56里面包含了（ ）個8”的數量關系，并找到解決問題的方法。因此，借助幾何直觀，能幫助學生直觀地理解數學，使學生在解決問題的能力、動手操作的能力及自學的能力等方面都得到了顯著的提升。

對于低年級的小學生來說，他們的思維水平正處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀地圖形語言有機地結合起來，抽象思維和形象思維結合起來，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數學理解上的難點。我們作為教師，應該重視它，讓學生充分認識幾何直觀在解決問題過程中的作用和價值，在整個數學學習過程中發揮著重要作用。