工程力學專業線性代數課程的4C/ID模式教學設計探索

許孟輝 王新新

[摘 要] 四要素教學設計（4C/ID）模式可有效提高復雜學習任務學習效率與效果。針對工程力學專業線性代數課程內容相對抽象、縱橫交錯、演繹教學的特點，探索性地建立了4C/ID教學設計架構，該架構有助于再現科學探索與發現的過程，實現教學從“演繹”到“連貫性直覺”的轉變，為工程力學專業的線性代數教學提供一種可行的參考。

[關鍵詞] 4C/ID模式;工程力學專業;線性代數;教學設計;復雜學習

[基金項目] 國家自然科學基金青年項目“多源不確定性環境下動載荷識別的非侵入型非概率方法”（11802148）

[作者簡介] 許孟輝（1986—），男，浙江寧波人，工學博士，副教授，碩士生導師，主要從事高等教育教學改革、力學反問題等研究;王新新（1987—），女，浙江寧波人，高等教育學碩士，主要從事高等教育學研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）36-0288-03 ? ?[收稿日期] 2019-09-16

力學與數學是唇齒相依的依賴關系，數學理論的發展有利于力學領域部分問題的成功解決，力學領域新問題的涌現反哺數學家有意義有價值的研究方向或問題。正是源于二者密不可分的相互聯系，相關數學基礎課程的學習對掌握力學理論、實現理論應用是不可缺少的。其中，線性代數課程是工程力學專業必備的數學基礎之一，它對本科生抽象邏輯思維能力的培養十分關鍵。正如錢學森先生對力學技術科學的定位，力學發展要把握抽象思維與應用思維之間的平衡，既要避免失去物理性的抽象，又要防止力學的純實用主義。從這個方面講，工程力學專業線性代數課程的教學定位應著眼于如何處理實用性和思維訓練二者之間的關系[1]，且從服從國家創新驅動發展戰略看，尤其不能忽略思維訓練。

工程力學專業線性代數課程的基本內容大致定型，主要包括行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、特征值與特征向量等。這門課程具有如下特點：各部分內容呈塊狀分布，看似彼此獨立卻縱橫交錯形成網狀，導致源頭不清晰、主線不突出、任務不明確;多數概念、定義與理論較為抽象，學生難以理解相關內涵與合理性，如為什么會形成行列式、矩陣乘法源自何處，學生對純理論學習興趣不高，影響學生學習積極性;課程設計脫離專業背景，教學思維以演繹傳授（定義性質與定理運算方法與技巧簡單數學示例）為主，忽略現象直奔本質，對學生應用數學知識解決專業問題的能力未進行有效訓練，不利于學生創新精神和創造思維能力的培養。由于線性代數課程對工程力學專業有著舉足輕重的作用，在諸多專業課中都需要用到線性代數的相關知識，如時間/空間離散數值計算方法所誘導的線性方程組問題、結構動力學分析所誘導的特征值問題。因此，為了培養和提高工程力學專業本科生利用線性代數相關知識解決后續專業課中實際問題的能力，進一步研究改進線性代數課程教學設計是十分必要的。

一、四要素教學設計（4C/ID）模式

自教學設計學科誕生以來，該領域已經提出諸多傳統的教學設計模式，如“肯普模型”“史密斯-雷根模型”等[2，3]。但這些教學設計模型通常將復雜學習任務分解為簡單成分以各個擊破，缺少重新整合，側重概念、理論的單向講授，不適用于學生復雜學習任務的完成。在這樣的背景下，荷蘭開放大學著名教學設計專家麥利恩伯爾教授等人發展提出了四要素整體性教學設計模式，即Four-Component Instructional Design（4C/ID），這種教學設計模式將整體性學習任務、支持性信息、即時信息、分任務練習四個要素作為訓練復雜認知技能、改進業績表現的主要設計因素[4，5]，運作機制包括以任務為中心的有效性機制、支持性信息的輔助機制、即時信息的運轉機制和分任務練習的整合機制[6]。

整體性學習任務是4C/ID的核心設計要素，設計原則側重具體真實、整體綜合、付出必達三個方面，力爭使學生在完成過程中能夠實現對知識、技能與態度的協調、整合和遷移。根據構成性技能的不同，它可以分為復用技能學習任務和非復用技能學習任務。前者是指在不同層級的整體性學習任務中未發生變化的技能，可以通過反復強化訓練達到高度自動化，從而在解決相同情境問題時無須推理與分析，如矩陣乘法規則、矩陣初等變換規則等。非復用技能學習任務在不同層級的整體性學習任務中隨著問題情境的不同而發生變化，對學生而言是新異的且需要付出努力才能完成。以任務為中心是4C/ID教學設計過程的起點，相較“以問題為中心”的教學設計目標而言，對提高學習者的學習效果更具優勢[6]。

支持性信息主要包括設計支持信息、分析認知策略與分析心智模式，為非復用性學習任務中解決問題和推理分析提供有效指導，協助學生在舊有知識和新學習任務之間奠定認知基礎，促進學生認知圖式建構過程。支持性信息作為連接新舊知識的重要紐帶，是實現學生有效學習的關鍵環節。

即時信息是分任務練習的先決條件，二者皆服務于復用技能學習任務。即時信息設計的關鍵是設計認知規則和正確運用這些規則所必備的知識，如簡單事實、概念或原理，通常以較小信息單元呈現，促進學生對復用技能學習認知圖式的自動化。分任務練習的目的在于不增加學生認知負荷前提下實現復用技能的高度自動化。

二、線性代數課程4C/ID教學設計

目前，國內諸多高校針對線性代數課程已經做了許多有益研究和探索，并獲得很多有意義的成果，多數研究著重于應用型工科專業的教學方法改革，如經濟管理專業、物理類專業[7]，但教學設計探討較少且處于探索階段[3，8]，尤其是工程力學專業線性代數教學設計更未見公開報道。

1.學習任務及分解。如圖1所示，線性代數課程的整體性學習任務為線性代數方程組的求解與應用，鑒于學生對舊有知識的連貫性，從學生熟知的概念，如消元法、方陣系數線性方程組切入，即以一元一次、二元二次、三元三次方程（組）為對象引入線性代數領域。非復用技能學習任務依次遞進分別設置為方陣系數線性方程組求解、非方陣線性方程組求解、特征值與矩陣對角化，其中方陣系數線性方程組是非方陣線性方程組的特殊情況，并應用于特征值與矩陣對角化。進一步地，在扼要地給定相關知識背景條件下，完成非復用技能拓展學習任務，如結構有限元分析（或Euler方程的差分代微分分析）、主應力/主方向判斷、結構動力學分析。復用技能學習任務分解為行列式計算、矩陣運算、伴隨矩陣運算、矩陣初等變換、矩陣與向量組秩數判斷、線性方程組求解、向量內積運算，并注重內在遞進關系，進一步通過分任務練習使得學生高度自動化完成這些任務。

2.支持性信息設計。支持性信息的設計服務于非復用技能學習任務。針對方陣系數線性方程組求解任務，重點完成兩種理論方法的推導與學習，即Cramer法則與逆矩陣理論。Cramer法則從一元一次、二元二次、三元三次方程（組）歸納，引入行列式概念與性質;逆矩陣理論從一元一次方程作形式假想，引入矩陣概念與運算規則。以上兩種方法分別從標量角度、矩陣角度理解線性方程組。針對非方陣系數線性方程組求解任務，重點學習解存在性定理、向量組線性相關/無關、向量空間。解存在性定理從消元法所蘊含的矩陣行變換結果引入，講授矩陣秩數的概念與性質;向量線性相關/無關從矩陣行變換所獲得的列向量關系引入，講授向量組秩數及計算;向量空間從線性無關向量組引入并拓展。針對特征值與矩陣對角化任務，重點完成歐氏空間、相似矩陣及矩陣對角化的相關理論推導。

3.即時信息與分任務練習。在相關背景知識引入條件下，即時信息以較小信息單元形式給出，要求學生將其內化為類似“加減乘除”四則運算，用以指導分任務練習，即時信息主要包括行列式性質、逆矩陣性質與矩陣行變換，大幅度地減少學生的認知負荷。為實現復用技能高度自動化，分任務練習主要包括行列式練習、逆矩陣練習、列向量組的極大無關組練習、線性方程組解結構練習、向量空間基底練習。

4.4C/ID模式下的教學思路。傳統教學思路因教材內容編寫的限制，往往從線性代數分析的源工具（行列式、矩陣）出發，忽略學生對舊有知識連貫性的認知需求，間接導致學生對線性代數課程內容的抵觸情緒，學習效率與效果不盡人意。在完成4C/ID教學設計后，教學思路以學習任務為中心指導，從消元法鏈接引入方陣系數線性方程組的求解新方法，依托這種新方法講授新概念與新原理、引入新工具（從標量到矩陣），重視抽象邏輯思維能力強化。通過經典力學問題培養學生分析問題、解決問題的能力。進一步可以順其自然地過渡到非方陣系數線性方程組的求解問題（從矩陣到向量）。特征值與矩陣對角化有明顯的力學背景，相關理論可以看作是方陣系數線性方程組的應用推廣。值得指出的是，4C/ID教學設計對線性代數講義或教材編寫也可提供指導。

三、結語

4C/ID教學設計模式在國內外高校部分課程教學中正處于探索階段。針對工程力學專業在抽象邏輯思維與應用思維折中的需求，本文應用4C/ID模式完成線性代數課程整體性教學設計，從學生舊有知識連貫性出發促進其對新學習任務認知圖式的建構，所建立的整體性教學設計架構為工程力學專業的線性代數課程教學提供了有意義參考，同時為本專業數學類基礎課程教學設計提供了一種思路。

參考文獻

[1]鄔學軍，唐明.線性代數是藍色的：大學非數學專業線性代數的課程設計[J].大學數學，2008，24（6）：12-16.

[2]J.J.G.Van Merrienboer，M.B.M.De Croock.Performance-based ISD：10 Steps to Complex Learning [J].Performance Improvement，2002，41（7）：33-38.

[3]張琛.基于4C/ID模型的大學電子技術實踐課程教學設計[J].理論與探討，2014，43（9）：96-98.

[4]馮銳，李曉華.教學設計新發展：面向復雜學習的整體性教學設計——荷蘭開放大學Jeroen J.G.van Merrienboer教授訪談[J].中國電化教育，2009（2）：1-4.

[5]楊興波，張林.4C/ID對多媒體課件教學設計的啟示 [J].軟件導刊（教育技術），2016，15（3）：75-77.

[6]郭瑞.探析4C/ID教學設計模式運作機制及生態型 [J].學周刊，2015（11）：20.

[7]黃美東，王宇飛，劉士余，張禧征，王慶媛.物理類專業線性代數教學方法改進的研究與實踐[J].高教學刊，2016（17）：123-124.

[8]曲延華，程立英，張玉梅.基于4C/ID模式的《模擬電子技術》課程教學設計研究[J].沈陽師范大學學報（自然科學版，2014，32（2）：296-299.