高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極值的教學(xué)案例
——攀巖問(wèn)題

張德燕，葉永升，崇金鳳，姜廣浩，安佰玲

（淮北師范大學(xué)，安徽 淮北235000）

0 引言

案例教學(xué)法最早起源于美國(guó)哈佛法學(xué)院，20世紀(jì)80年代引入我國(guó)。案例教學(xué)法就是以典型案例為基礎(chǔ)撰寫(xiě)真實(shí)或虛擬的情景，讓學(xué)生把自己納入案例場(chǎng)景，進(jìn)行師生問(wèn)答、討論等互動(dòng)的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)認(rèn)知技能達(dá)到目標(biāo)要求的教學(xué)方法［1-2］。美國(guó)的貝格教授認(rèn)為，教授數(shù)學(xué)的真正原因是數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，有利于解決各種問(wèn)題。學(xué)習(xí)怎樣解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的。案例教學(xué)就是在課堂教學(xué)中，引入具體實(shí)例，通過(guò)解決具體問(wèn)題，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐的思想和方法。要求教學(xué)中所選的案例符合實(shí)際生活，使學(xué)生真正能感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、又能經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn)。通過(guò)生動(dòng)典型的案例分析，一方面，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，同時(shí)更深刻地理解知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵，并且將數(shù)學(xué)的思想和方法應(yīng)用到具體問(wèn)題解決中；另一方面，使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)是“有用的”，從而激發(fā)一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。因此，在課堂教學(xué)中，進(jìn)行案例教學(xué)順應(yīng)了當(dāng)代高等數(shù)學(xué)教育的要求，適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需求，是非常有必要的。

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)內(nèi)容豐富、概念抽象、思維方式靈活多樣、應(yīng)用領(lǐng)域廣泛的課程，十分有助于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。本文就高等數(shù)學(xué)中求二元函數(shù)的極值問(wèn)題，以問(wèn)題為中心的情境式教學(xué)設(shè)計(jì)原理作為基本思想，設(shè)計(jì)關(guān)于條件極值問(wèn)題的教學(xué)案例。

1 案例教學(xué)的六個(gè)基本環(huán)節(jié)

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)以問(wèn)題為中心來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)案例，主要包括六個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境、問(wèn)題構(gòu)建、探索交流、解決問(wèn)題、效果評(píng)價(jià)、拓展反思。每個(gè)環(huán)節(jié)的基本要求和目標(biāo)參見(jiàn)表1。

表1 六個(gè)環(huán)節(jié)的基本要求及目標(biāo)

2 教學(xué)案例——攀巖問(wèn)題

根據(jù)案例教學(xué)基本理論，我們按照上面的六個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)利用拉格朗日乘數(shù)法解決攀巖問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程。

2.1 創(chuàng)設(shè)情境

近年來(lái)，隨著全民健身運(yùn)動(dòng)的提倡，出現(xiàn)越來(lái)越多的攀巖愛(ài)好者。對(duì)于攀巖者，他們更喜歡冒險(xiǎn)和挑戰(zhàn)，正所謂無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰。為了攀巖的難度達(dá)到極大，選擇合適的出發(fā)點(diǎn)和攀巖的路線（方向）成為攀巖者必須要考慮的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題我們稱(chēng)之為“攀巖問(wèn)題”，也是這篇文章要構(gòu)建的教學(xué)案例。

2.2 問(wèn)題構(gòu)建

以圖1的山丘為例，從上面的陳述，我們已經(jīng)清楚攀巖問(wèn)題關(guān)鍵是在山腳下如何選擇一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)攀巖的方向，使得攀巖的難度達(dá)到最大。

圖1 山丘實(shí)圖

針對(duì)此問(wèn)題，著名的科學(xué)家華羅庚先生給出一個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化方法“瞎子爬山法”，借該方法的思想做出巧妙而通俗的講解，即盲人在爬山時(shí)會(huì)用拐杖對(duì)腳下附近四面八方輪流嘗試，憑感覺(jué)找到向上最陡的方向就邁進(jìn)一步，直到感覺(jué)朝哪個(gè)方向都不高了就說(shuō)明到達(dá)山頂了。因此，在選擇一個(gè)起點(diǎn)時(shí)，直觀上就是在山腳下找到一點(diǎn)使得在這一點(diǎn)處有一個(gè)最為“陡峭”的爬山方向。基于此，建立空間直角坐標(biāo)系，具體如圖2所示。

圖2 空間直角坐標(biāo)系

設(shè)小山丘底部所在的平面為xoy平面，其底部所占區(qū)域?yàn)?/p>

小山的高度函數(shù)為

事實(shí)上，二元函數(shù)h(x,y)在區(qū)域D的任意邊界點(diǎn)P處的所有方向?qū)?shù)中存在最大值，即梯度方向是方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向，并且梯度gradh(P)的模就是函數(shù)h(x,y)在P點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)［4］。故將選擇攀巖的起點(diǎn)和方向轉(zhuǎn)化為下面的兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：

（1）函數(shù)h(x,y)在哪個(gè)方向上的方向?qū)?shù)最大？

（2）在D的邊界上找一點(diǎn)M使得h(x,y)的梯度的模達(dá)到最大。

2.3 探索交流

從上面的問(wèn)題陳述中，看到此問(wèn)題屬于函數(shù)的極值問(wèn)題。因此，首先帶領(lǐng)學(xué)生一起復(fù)習(xí)與函數(shù)極值相關(guān)的內(nèi)容，然后進(jìn)行探討分析，找到求此問(wèn)題的具體方法。

2.3.1 復(fù)習(xí)回顧

關(guān)于函數(shù)的極值問(wèn)題，一般有兩類(lèi):無(wú)條件極值問(wèn)題和條件極值問(wèn)題。

對(duì)于多元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)基本的解法，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)分兩步：第一步令函數(shù)的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零，聯(lián)立解方程組，從而求出函數(shù)的駐點(diǎn)。第二步判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極值。對(duì)于多元函數(shù)的條件極值問(wèn)題，最常用的方法是拉格朗日乘數(shù)法，一般的高等數(shù)學(xué)教材都會(huì)介紹［5-6］，如求二元函數(shù)z=f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的極值。

第一步，建立輔助函數(shù)

第二步，求可能的極值點(diǎn)。令輔助函數(shù)L(x,y,λ)關(guān)于x,y,λ的偏導(dǎo)數(shù)等于零，聯(lián)立解方程組即可求出可能的極值點(diǎn)。

第三步，理論聯(lián)系實(shí)際，判斷函數(shù)在所給條件下的極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極值。

一般，會(huì)遇到利用拉格朗日乘數(shù)法求解帶有m個(gè)條件的多元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的極值問(wèn)題。上述的前兩個(gè)步驟可以概括為以下兩個(gè)公式：（1）輔助函數(shù)=目標(biāo)函數(shù)+參數(shù)1×第一個(gè)條件函數(shù)+…+參數(shù)m×第m個(gè)條件函數(shù)，此時(shí)把輔助函數(shù)看作x1,x2,…,xn和m個(gè)參數(shù)的n+m元函數(shù)；（2）解方程組，即輔助函數(shù)關(guān)于n+m個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)=0。

2.3.2 探討分析

討論的極值問(wèn)題可敘述為函數(shù)h(x,y)的梯度的模在D的邊界曲線x2+y2-xy=75上的哪一點(diǎn)處取得最大值？這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，所以利用拉格朗日乘數(shù)法解決，其中目標(biāo)函數(shù)為h(x,y)的梯度的模，條件函數(shù)為φ(x,y)=x2+y2-xy-75=0。

2.4 解決問(wèn)題

根據(jù)梯度的定義，函數(shù)h(x,y)的梯度gradh(x,y)

于是h(x,y)的梯度的模函數(shù)為

注意到求這個(gè)模函數(shù)的極值問(wèn)題就等價(jià)于求它的平方的極值問(wèn)題。故令g(x,y)=5x2+5y2-8xy。

為了方便計(jì)算，可以先求函數(shù)g(x,y)在約束條件φ(x,y)=x2+y2-xy-75下的最大值。于是，建立輔助函數(shù)L(x,y,λ)=g(x,y)+λφ(x,y)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)。

求L(x,y,λ)分別關(guān)于x,y,λ的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得到方程組

由（1）+（2）得(x+y)(λ+2)=0，得到x=-y或x=y，代入（3）式得到可能的極值點(diǎn)為M1(5,-5),將這四個(gè)點(diǎn)代入比較得到是極大值點(diǎn)。因此，在處高度函數(shù)h(x,y)的梯度的模達(dá)到最大，最大值為

2.5 效果評(píng)價(jià)

通過(guò)探索交流，學(xué)生重溫方向?qū)?shù)、梯度等基本概念，掌握了拉格朗日乘數(shù)法解決攀巖問(wèn)題的過(guò)程，從而學(xué)會(huì)了利用拉格朗日乘數(shù)法解決類(lèi)似的與條件極值相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

在案例中，老師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧梯度與方向?qū)?shù)，讓學(xué)生回憶起梯度這一特殊方向，即函數(shù)增大最快的方向，其反方向是減小最快的方向。回到攀巖問(wèn)題，攀巖者實(shí)際上是沿偏導(dǎo)數(shù)組成的向量的方向攀巖，即攀巖路線的切線應(yīng)與該向量平行。教師還可以提出一些變式題目，如：上面的攀巖問(wèn)題中攀巖者如何選擇下山的路線；求函數(shù)f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直線x+y=6及x軸所圍成的閉區(qū)域上的極值。除此之外，可以讓學(xué)生結(jié)合生活中的一些例子進(jìn)行理解，如游樂(lè)場(chǎng)的娛樂(lè)項(xiàng)目滑坡，在坡體最高處找到一個(gè)極值點(diǎn)，沿著梯度的方向滑坡最令人刺激。

2.6 拓展反思

與極值問(wèn)題相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題幾乎都屬于條件極值問(wèn)題，如最大化收益、最大化滿意度、最小化風(fēng)險(xiǎn)等問(wèn)題。求這種極值問(wèn)題常用的手段是拉格朗日條件極值法，在運(yùn)用這一工具的時(shí)候，關(guān)鍵要找到實(shí)際問(wèn)題與已學(xué)理論知識(shí)的橋梁，從而確定目標(biāo)函數(shù)。

3 課堂思政

數(shù)學(xué)作為一門(mén)典型的自然科學(xué)類(lèi)課程，所體現(xiàn)的科學(xué)精神與人文精神的融合是實(shí)現(xiàn)思政教育的重要載體［7］。以案例教學(xué)為切入點(diǎn)來(lái)掌握教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)隱性地提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，實(shí)現(xiàn)課程思政與高等數(shù)學(xué)的有機(jī)融合，是最為行之有效的方法［8］。在攀巖問(wèn)題中，學(xué)生不僅能感受到攀巖者勇于自我挑戰(zhàn)、攀登高峰的精神，而且能體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要有不怕難題、敢于探索、追求真理的科學(xué)精神。之外，在復(fù)習(xí)理解函數(shù)的方向?qū)?shù)時(shí)，可以給學(xué)生呈現(xiàn)與之有關(guān)的大自然美景或名勝古跡，如迷人的長(zhǎng)白山天池和壯觀的池下瀑布，上海豫園的“九曲橋”，“九曲黃河萬(wàn)里沙，浪濤風(fēng)簸自天涯”，“奇峰美景游人醉，千回百轉(zhuǎn)行路難”。在感嘆這些美景時(shí)，不僅領(lǐng)略到中國(guó)文化的博大精深，而且能體會(huì)到這些景觀背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)理論。

4 結(jié)語(yǔ)

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，如果能夠結(jié)合生活實(shí)際，恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在一個(gè)真實(shí)的環(huán)境里思考和探索，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，是幫助學(xué)生準(zhǔn)確、深刻理解知識(shí)的一個(gè)重要途徑［9］。眾所周知，傳統(tǒng)教學(xué)在高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中仍是一種有效的占據(jù)重要地位的教學(xué)方式，與案例教學(xué)相比各有利弊［10］，故在數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)中合理列舉典型案例，并將傳統(tǒng)教學(xué)和案例教學(xué)相結(jié)合，可以取長(zhǎng)補(bǔ)短，能更有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。本文設(shè)計(jì)了人們熟悉的攀巖問(wèn)題，即攀巖者如何選擇攀巖的起點(diǎn)。之后，通過(guò)案例教學(xué)的六個(gè)環(huán)節(jié)，結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)模式，循序漸進(jìn)地啟發(fā)和訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而幫助學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)知識(shí)和方法學(xué)以致用，進(jìn)行創(chuàng)新和創(chuàng)造。