深度學習在初中數學復習課中的實施方法探究

吳菲

【摘要】? 復習課怎么上才能達到復習的效果，一方面要引起學生的興趣，另一方面要做到知識的溫故知新。新授課、習題課與復習課在教學上互有分工，教學要求層層遞進。作者利用一堂復習課案例來探究函數復習課背后的數學核心素養能力培養方法。

【關鍵詞】? 一次函數 線系方程 學生生成 素養訓練

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）25-163-02

一直以來，復習課由于所受知識學生已經學過，老師不容易調動學生興趣，并且課堂知識點多而雜，而被很多老師都認為不好上。因此我在送課的時候老師們經常會希望我上復習課，方便一起探究復習課更好的上課方式。

要上好復習課，首先得區分好新課、習題課、章節復習課、和中考復習課的區別。如果用數學中簡單的運算法則來形容，“新課”好比加法，在學生的大腦中進行知識的擴充或積累。“習題課”好比加減混合運算。一方面，增加學生運用相關知識解決各種問題的方法及運用知識的角度，另一方面，又將同類習題進行整合，去表象而求實質。“章節復習課”好比減法，將整章看似零散的知識點，用學習代數、幾何、解析幾何、統計的通用方法來進行知識的串聯和整合，讓學生對本章的知識體系越來越清晰。拋開題與題之間列式的不同，去尋求題與題之間解題思路、解題能力及所用數學思想上的關聯或一致性。“中考復習課”就好比除法，將所有知識點的能力目標進行分類，將章節復習課的學習方法運用到相關章節上，進行更大的知識體系連接，復習總結出四套學習方法，分別解決代數、幾何、解析幾何、統計相關知識。今天就以一節章節復習課的案例，與大家分享解析幾何——函數研究方法的探究，供大家參考。

一、教學目標

1.讓學生體會研究函數的三個角度：點、線、面，體驗劃歸思想。

2.讓學生學會幾何語言與代數語言的相互轉換，進一步體驗數形結合思想的運用。

3.讓學生在合作探究過程中感受動態問題中參數的幾何意義，提高學生處理參數的能力，會利用相關線系解決具體問題，提高計算能力。

4.能將所學的一次函數研究方法遷移到其他函數模型上，突破解析式的限制，看到函數研究的通法，培養函數研究的持續能力。

二、教學重點

1.從“點”、“線、“面”三個角度研究函數;

2.“定點”、“動點”、“交點”、“線系”相關知識的運用。

三、教學難點

1.含參一次函數中定點的求法;

2.線系方程的運用。

四、教學過程

一、開放式命題引入

已知一次函數y=mx+3m，添加一個條件求出函數解析式。

【素養訓練】開放命題，調動學生已有學科知識：1.求解析式的實質是求解析式中的參數;2.需要幾個條件求取參數？條件個數與參數個數之間又怎樣的關系？3.有哪些形式能給出求參數的條件？

【學生生成1】添加條件：過某個點，例如函數圖象經過點（-1，2）

【知識鏈接1】常見的給點方式有哪些？

1.過點（-1，2）

2.當x=-1時，y=2

3.在函數圖象上給出點

4.用表格形式給點

【學生生成2】添加條件：與某直線平行（垂直）。例如與直線y=2x-5平行

【學生生成3】添加條件：已知與坐標軸圍成的三角形面積。例如與坐標軸圍成的三角形面積為9.

【設計意圖】從點、線、面的角度給出求參數的條件。引導學生將函數研究方向聚焦到研究與函數有關的點、線、面上。在點、線、面三方面中，研究與函數有關的點尤其重要。

二、探究與函數有關的點

例1已知一次函數y=mx+3m，過點（-1，2），

（1）求出函數解析式。

（2）求該函數與坐標軸交點坐標;

求該函數與y=-x交點坐標;

（3）若點P為該一次函數圖象上的動點，則P點坐標可表示為__________.

【素養訓練】在具體問題中感知函數圖象上的已知點、交點、動點的具體運用及呈現方式。訓練學生歸納、計算、消參的能力。

【知識鏈接】函數中常見的點及對應的運用方法（適用于所有函數）：

1.函數圖象上的已知點

處理方法：將已知點坐標代入解析式，消參。

2.交點

處理方法：1.求交點：聯立解析式，求方程組的解;

2.已知交點：可代入多個解析式消參。

3.圖象上的動點

處理方法：直線y=kx+b上動點P的坐標可表示為P（x，kx+b）

（1）求出函數解析式;

（2）求該函數與直線y=-x的交點坐標;

（3）若P為該函數圖象上一點，過P作PH垂直x軸于點H，

求△OPH的面積。

【設計意圖】任何函數圖象都是又具有某一特征的點構成，在研究函數圖象上的相關運用時可打破一次函數的限制，引導學生進行知識遷移，培養學生用已知探究未知的能力，授之以漁。該探究亦適用于高中函數學習，進行初高中數學學習能力銜接。

三、拓展探究

（4）已知一次函數y=mx+3m，過點（-3，0），你有什么發現？

【學生生成】代入點（-3，0）得，-3m+3m=0等式恒成立，與參數m無關。

【知識鏈接】1.帶參函數上的定點：使含參解析式恒成立的點

2.求含參函數圖象上定點的方法及步驟：

（1）轉換主元：以參數為主元整理解析式

（2）尋找恒成立條件：令參數的系數為0時，所得方程若恒成立即有定點，若無法恒成立，則無定點。

注：此方法步驟適用于所有函數

【例題解析】

【變式訓練】

【設計意圖】含參動態問題中的定值問題是研究含參問題中最有研究價值的一類問題，往往也是解題或優化解題方法的突破口。轉換主元的方法適用于所有在特殊的含參解析式中尋找定點，為后續函數中定點的尋求作思想和能力的鋪墊。

【結論】只含一個參數的一次函數圖象一定過某個定點。

四、探究與一次函數有關的線系

【學生生成】第（3）問可利用垂直系方程求解，也可利用等腰三角形的三線合一的性質，由中點坐標公式得到。

【素養訓練】鞏固訓練函數圖象上點的運用方法，鞏固消參的能力，引入線系的思想，承上啟下。

【知識鏈接】

【設計意圖】從線系的角度，再次直觀詮釋一次函數中常數k、b的幾何意義。會根據題目已知條件合理設出線系方程。

直線y=2x+d呢？

【設計意圖】平行線系的運用

變式：點C為直線AB與x軸的交點，若直線y=kx+4與△OCD有交點，求k的取值范圍。直線y=nx+10呢？

【設計意圖】定點線系的運用

【遷移訓練】根據學生情況，以下內容選擇性教學或作為課后學生探究作業。

結合求含參函數圖象所過定點的方法，探究過定點（1，2）的線系方程應該如何表示？過定點（x1，y1）的線系方程呢？

【素養訓練】多角度理解“定點”的用法，進行知識和能力上的遷移，培養學生深入研討，多角度運用、分析概念的能力。培養學生觸類旁通，開放思維，大膽質疑的能力。

五、探究與一次函數有關的面

（5）點E坐標為（4，0），P是直線y=-x+6上的點，設△OPE的面積為S，當S=10時，求P點坐標。

【素養訓練】訓練數形結合思想，幾何條件與點坐標、線解析式之間的轉換。

【知識鏈接】與函數圖象有關的面積問題的分析策略：

1.制定求面積的方法

（2）所求三角形三邊都不與坐標軸平行時，選擇割補法（用與坐標軸平行的直線進行割補，轉化為（1）的情況處理）。

2.用坐標表示“底”和“高”。

六、一次函數點、線、面知識綜合運用

（6）Q是直線y=-x+6上的一個動點，當Q運動到何處時，△OQE的周長為C最小？

【素養訓練】本題涉及到了“直線上已知點”、“直線上動點”、“垂直線系”、“交點”、“中點”、“對稱點”、“軸對稱”、“最短路徑”等相關知識。