數學建模在三角內容上的應用

范立東

【摘要】在教育教學改革進程中，人們的觀念從以前只關注學生成績，到現在逐步轉向關注和培養學生素質的發展。在高中數學教學過程中，教師可以組織學生進行一些數學建模活動，是提高學生數學核心素養的重要途徑。同時三角函數在工程、物理、測量、天文等方面都有廣泛應用，大多數涉及與角度、周期等有關的問題，都可以考慮建立“三角函數模型”，應用三角函數的相關知識予以解決。

【關鍵字】數學建模? ?三角函數? ?周期

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）08-164-01

引言

在現實世界中，三角函數是刻畫周期現象或規律的一種數學模型，對研究實際生活中的具有周期規律的問題具有十分重要的作用。建立三角函數模型是指：充分利用數形結合的思想以及圖形語言和符號語言，利用三角、物理或其他相關知識，根據搜集到的數據，找出變化規律，建立關系式，從而將實際問題轉變為有關三角函數的問題，最終問題的數學化得到實現。

一、在工程測量等方面，涉及到與三角形圖形相關問題時，可以考慮結合正弦定理、余弦定理來建立三角函數模型

例1如圖所示，某村莊A旁邊有兩條公路AB，AC，它們夾角為60°，現在當地政府要在兩條公路之間的范圍內規劃建立一座食品加工廠P，同時要在AB公路邊上建倉庫M，在AC公路邊上建倉庫N，要求MN、PM、PN都為2（km）.怎樣設計M、N的位置，使得該食品加工廠產生的噪聲對村莊A居民的影響最小？

分析：要使該廠產生的噪聲對村莊A居民的影響最小，則該廠與村莊A的距離AP必須要最大。由于△MNP為等邊三角形，且邊長固定，發現P點的位置隨∠AMN的變化而變化，故可以考慮建立AP與∠AMN關系的三角函數模型。

解：設∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理，

得? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

所以AN=? ? ? sinθ，AM=? ? ?sin（120°-θ）.在△AMP中，由余弦定理，得AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP

=? ? ?sin2（θ+60°）+4-? ? ? ? ?sin（θ+60°）cos（θ+60°）

=? ? ?[1-cos（2θ+120°）]-? ? ? ?sin（2θ+120°）+4

=-? ? ?[? ?sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

=? ? ? -? ? ?sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）

當且僅當2θ+150°=270°，即θ=60°時，AP最大，此時AN=AM=2千米.

故設計AN=2（km），AM=2（km）時，該食品加工廠產生的噪聲對村莊A居民的影響最小。

二、在現實生活中，經常會碰到具有周期變化規律的現象，如潮汐、單擺運動，圓周運動、心臟跳動等等，都可以考慮利用它們的周期規律或圖像來建立三角函數模型

例2一般地，在一定的時候，海水受日月引力影響，會發生漲落的現象，即潮汐。已知某貨船在漲潮時駛向港口碼頭，在落潮時又重新返回海洋。在某季節測得該港口每天時間與海水深度（單位：米）的關系表：

該貨船航行時，如果船底離海底的距離大于或等于6米以上，則認為航行是安全的。已知該貨船吃水深度（即地面離船底的距離）為5.5米，現在該貨船5：00駛進港口，想在同一天內又能夠安全駛出港口，則該貨船能夠在該港口內至多停留多長時間（進出港口所需時間忽略）？

分析：先根據數據作出圖像，建立適當的三角函數模型，從而解決問題。

解：在直角坐標系中，以時間t為橫坐標，水深y為縱坐標，作出散點圖.如圖：

根據圖象和數據，可考慮用函數y=Asin（ωt+φ）+B（A>0，ω>0），來模擬水深與時間之間的依賴關系.從圖象數據易得出A=3，B=10，周期T=12，φ=0，由T=? ? ? =12，得ω=? ? ? ?，所以y=3sin? ? ?t+10。依題意，當y≥11.5時，該貨船就可以進出港口。

如圖，在區間[0，24]內，函數

y=3sin? ? ?t+10圖像與直線y=11.5

四個交點。

由3sin? ? ?t+10=11.5，所以，sin? ? ?t=? ? ? ，t∈[0，24]

解得tA=1，tB=5，tC=13，tD=17.

由于該貨船從5：00進入港口，可以17：00離開港口，所以該貨船在港口內至多可以停留12小時。

三.在一些物理問題上，常常會涉及到與角度有關的力學問題，由于力是矢量，故可以利用向量工具來建立三角函數模型

例3如圖（1）所示，一根繩子同時經過定滑輪A和定滑輪B，在定滑輪A和定滑輪B兩端分別掛有5N和3N的物體，現在滑輪之間的繩上掛一個物體，重量為m（N），此時3個物體處于平衡靜止狀態，求m的取值范圍。

分析：先建立直角坐標系，設出角度，結合向量相關知識，建立m關于某角的三角函數模型。

解：? 如圖（2）建立直角坐標系，設OB與y軸的正半軸的夾角為α，OA與y軸的正半軸的夾角為β，則由三角函數定義得OB=（3sinα，3cosα），OA=（-5sinβ，5cosβ）， OC=（0，-m），由于系統處于平衡狀態，∴OC+OB+OA=0

∴? 3sinα=5sinβ? ? ? ? ? 平方相加得：9=25-10mcosβ+m2，

3cosα=m-5sinβ? ? ? ? ? ? ? ? 即 m2-10mcosβ+16=0（*），

△=100cos2β-64≥0，∴? ?≤cosβ<1. 由（*）解得m=5cosβ± 25cos2β-16，由m>0，∴m=5cosβ+? 25cos2β-16，

cosβ∈[? ? ? ，1）這里m是cosβ關于的增函數， ∴正數m的取值范圍為[4，8）.

總之，三角函數模型是解決實際問題的有力工具，在三角內容教學中，教師可以根據實際問題來鍛煉學生的建模能力。數學建模可以提高學生學習數學的熱情，能夠讓學生感受數學之美在于學以致用。同時，通過數學建模，在一定程度上，學生的創造能力和數學核心素養都會得到提升。