關(guān)注函數(shù)本質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

張碧峰

二次函數(shù)可以說(shuō)是初中階段函數(shù)的升華，也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接的一個(gè)重要紐帶。利用數(shù)形結(jié)合這把金鑰匙，它能帶領(lǐng)學(xué)生把圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系挖掘出來(lái)，運(yùn)用形的特征來(lái)探索數(shù)的規(guī)律。如二次函數(shù)的增減性和最值性是初中階段研究二次函數(shù)的重點(diǎn)和本質(zhì)。

本文以二次函數(shù)最值問(wèn)題微專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾瓮诰蚨魏瘮?shù)的增減性和最值性的本質(zhì)。

一、教學(xué)本質(zhì)分析

1、基礎(chǔ)練習(xí)

問(wèn)題1：已知二次函數(shù) .

（1）當(dāng) 時(shí)，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（2）當(dāng) 時(shí)，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（3）當(dāng) 時(shí)，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

學(xué)生1：該函數(shù)圖像時(shí)一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，自變量x的取值都在對(duì)稱軸直線x=1的左側(cè)，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=-3時(shí)，取最小值y=-11，當(dāng)x=-2時(shí)，取最大值y=-4。

學(xué)生2：自變量x的取值都在對(duì)稱軸直線x=1的右側(cè)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=2時(shí)，取最大值y=4，當(dāng)x=4時(shí)，取最小值y=-4。

學(xué)生3：自變量x的取值都在對(duì)稱軸直線x=1的兩側(cè)，當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而減小，而-2離對(duì)稱軸的距離比2離對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，所以當(dāng)x=-2時(shí)，取最小值y=-4，當(dāng)x=1時(shí)，取最大值y=5。

教師提問(wèn)：請(qǐng)思考：已知x的取值范圍求y的最值問(wèn)題時(shí)，

有哪幾類情況？你認(rèn)為解決此類問(wèn)題有效的方法是什么？

學(xué)生4：有自變量取值范圍在對(duì)稱軸左側(cè)，

右側(cè)，兩側(cè)三種情況，利用圖像解決問(wèn)題。

教師總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決這類問(wèn)題的金鑰匙。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)題目主要讓學(xué)生復(fù)習(xí)如何自變量x在取值范圍內(nèi)求函數(shù)的最值問(wèn)題，本題分3小題，x的范圍分別在二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線x=1的左側(cè)，右側(cè)和兩側(cè)。讓學(xué)生利用二次函數(shù)的增減性解決函數(shù)的最值問(wèn)題。

2、拓展練習(xí)

問(wèn)題2：已知二次函數(shù) .

（1）當(dāng) 時(shí)，y的最大值是2n，則n=

（2）當(dāng) ，mn<0時(shí)，y的最大值為2n，y的最小值為2m，則

m+n=

問(wèn)題2難度明顯較問(wèn)題1大，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，小組合作討論，由學(xué)生代表上臺(tái)發(fā)言。引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)簡(jiǎn)圖。

學(xué)生5：因?yàn)槿≈捣秶鷑是未知的，所以用數(shù)形結(jié)合無(wú)法一下子確定最大值在哪里，所以對(duì)于n要分類討論。-31時(shí)，由圖像可知，最大值是5，即2n=5，n=2.5。所以n=-2或2.5。

學(xué)生6：由題意m<0，n>0，m>1是不可能的。當(dāng)n<1時(shí)，由上題可知最大值為2n，n=-2，不合題意舍去。當(dāng)n>1時(shí)，分2類，①n-1<1-m，即m+n<2，當(dāng)x=m時(shí)，取最小值2m，最大值是5，即m=-2，n=2.5，m+n=0.5;②n-1>1-m，即m+n>2，最大值是5，n=2.5，最小值是2m，即當(dāng)x=n=2.5時(shí)，m= ，不合題意舍去。

這兩位學(xué)生的回答都非常精彩，是班級(jí)里的佼佼者，也是小組討論，集體的精華。

教師提問(wèn)：請(qǐng)思考：?jiǎn)栴}2與問(wèn)題1的區(qū)別在哪里？如何把它轉(zhuǎn)化？

學(xué)生7：?jiǎn)栴}1的拋物線解析式已知，自變量取值范圍已知，而問(wèn)題2的自變量取值范圍中有字母，所以要分類討論。

教師總結(jié)：當(dāng)自變量的取值范圍未知時(shí)，那么我們就要對(duì)該取值范圍在對(duì)稱軸的左側(cè)，右側(cè)還是兩側(cè)進(jìn)行分類討論。

設(shè)計(jì)意圖：本題設(shè)計(jì)主要讓學(xué)生根據(jù)圖像的對(duì)稱性進(jìn)行分類討論，探索函數(shù)在取值范圍內(nèi)的單調(diào)性和最大最小值問(wèn)題。

3、深化應(yīng)用

問(wèn)題3：當(dāng) 時(shí)，二次函數(shù) 有最大值4，則m的值是

學(xué)生8：m>1時(shí)，對(duì)稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的右側(cè)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x=1時(shí)，最大是4，即把x=1代入解析式，解得m=2，當(dāng)m<-2時(shí)，對(duì)稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的左側(cè)，y隨著x的增大而減少，當(dāng)x=-2時(shí)，最大是4，即把x=-2代入解析式，解得 ，不合題意舍去。對(duì)稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的之間，最大值為m2+1=4， ， 符合題意。所以m=2或 。（本題是在教師和學(xué)生的共同探索討論得到）。

教師提問(wèn)：請(qǐng)思考：?jiǎn)栴}3與問(wèn)題1的區(qū)別在哪里？又該如何把它轉(zhuǎn)化。

學(xué)生9：?jiǎn)栴}3的自變量的取值范圍已知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)含有字母m，只要把拋物線的對(duì)稱軸在自變量的右側(cè)、左側(cè)、兩側(cè)，即可分類討論。

設(shè)計(jì)意圖：本題的設(shè)計(jì)延伸了上一題的問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)已知自變量的取值范圍，而未知對(duì)稱軸的位置，同樣可以轉(zhuǎn)換為對(duì)稱軸在自變量的左側(cè)，右側(cè)，和兩側(cè)進(jìn)行分類，關(guān)鍵還是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換思想，讓學(xué)生的思維上升了一個(gè)臺(tái)階，培養(yǎng)了學(xué)生探索問(wèn)題的能力。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)流程

主線：定軸定區(qū)間→定軸動(dòng)區(qū)間 →動(dòng)軸定區(qū)間

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論

三、教學(xué)思考

1、立足教材，適當(dāng)延伸教學(xué)

初中復(fù)習(xí)課教學(xué)先要立足課本，讓所有學(xué)生都掌握基本知識(shí)，讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也獲得成就感，但也要適當(dāng)?shù)募由罱虒W(xué)內(nèi)容，讓班級(jí)中基礎(chǔ)較好的學(xué)生在掌握已有的知識(shí)的前提下，適當(dāng)拓展和深化知識(shí)點(diǎn)。如本節(jié)復(fù)習(xí)課從最基礎(chǔ)的已知函數(shù)和已知自變量的取值范圍內(nèi)求最值，拓展到已知函數(shù)，未知自變量的取值范圍的情況下求字母的值，再深化到已知自變量的取值范圍，未知函數(shù)，求字母的值，讓學(xué)生觀察體驗(yàn)函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的一些特征，有利于發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力。

2、重視知識(shí)的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是死記硬背，而需要學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探索問(wèn)題和解決問(wèn)題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和解決問(wèn)題的能力，由于高中數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)提出更高的要求，因此，我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，要注意打好基礎(chǔ)，例如本節(jié)課深化和拓展時(shí)通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到答案，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

3、關(guān)注深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)探索能力

在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，不僅要讓學(xué)生知其然，更應(yīng)讓學(xué)生知其所以然，教師不要讓學(xué)生停留在學(xué)習(xí)的表面，要設(shè)計(jì)有深度的問(wèn)題，讓學(xué)生深入探索問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生思維能夠深入發(fā)展。這種良好的學(xué)習(xí)方式有益于今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也有益于將來(lái)高中課程的學(xué)習(xí)，甚至對(duì)學(xué)生的終身學(xué)習(xí)都有好處，更好的培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，整節(jié)課圍繞著函數(shù)的增減性和最值性這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有易到難，數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題和深入思考問(wèn)題的能力，對(duì)將來(lái)的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)

[1] ?施賢宜。關(guān)注銜接教學(xué)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)——以二次函數(shù)復(fù)習(xí)課為例。初中數(shù)學(xué)教與學(xué)