關(guān)注函數(shù)本質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

張碧峰

二次函數(shù)可以說是初中階段函數(shù)的升華，也是高中數(shù)學(xué)知識銜接的一個重要紐帶。利用數(shù)形結(jié)合這把金鑰匙，它能帶領(lǐng)學(xué)生把圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系挖掘出來，運用形的特征來探索數(shù)的規(guī)律。如二次函數(shù)的增減性和最值性是初中階段研究二次函數(shù)的重點和本質(zhì)。

本文以二次函數(shù)最值問題微專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾瓮诰蚨魏瘮?shù)的增減性和最值性的本質(zhì)。

一、教學(xué)本質(zhì)分析

1、基礎(chǔ)練習(xí)

問題1：已知二次函數(shù) .

（1）當 時，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（2）當 時，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（3）當 時，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

學(xué)生1：該函數(shù)圖像時一個開口向下的拋物線，自變量x的取值都在對稱軸直線x=1的左側(cè)，y隨x的增大而增大，所以當x=-3時，取最小值y=-11，當x=-2時，取最大值y=-4。

學(xué)生2：自變量x的取值都在對稱軸直線x=1的右側(cè)，y隨x的增大而減小，所以當x=2時，取最大值y=4，當x=4時，取最小值y=-4。

學(xué)生3：自變量x的取值都在對稱軸直線x=1的兩側(cè)，當 時，y隨x的增大而增大，當 時，y隨x的增大而減小，而-2離對稱軸的距離比2離對稱軸的距離遠，所以當x=-2時，取最小值y=-4，當x=1時，取最大值y=5。

教師提問：請思考：已知x的取值范圍求y的最值問題時，

有哪幾類情況？你認為解決此類問題有效的方法是什么？

學(xué)生4：有自變量取值范圍在對稱軸左側(cè)，

右側(cè)，兩側(cè)三種情況，利用圖像解決問題。

教師總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決這類問題的金鑰匙。

設(shè)計意圖：設(shè)計這個題目主要讓學(xué)生復(fù)習(xí)如何自變量x在取值范圍內(nèi)求函數(shù)的最值問題，本題分3小題，x的范圍分別在二次函數(shù)的對稱軸直線x=1的左側(cè)，右側(cè)和兩側(cè)。讓學(xué)生利用二次函數(shù)的增減性解決函數(shù)的最值問題。

2、拓展練習(xí)

問題2：已知二次函數(shù) .

（1）當 時，y的最大值是2n，則n=

（2）當 ，mn<0時，y的最大值為2n，y的最小值為2m，則

m+n=

問題2難度明顯較問題1大，學(xué)生通過獨立思考，小組合作討論，由學(xué)生代表上臺發(fā)言。引導(dǎo)學(xué)生畫簡圖。

學(xué)生5：因為取值范圍n是未知的，所以用數(shù)形結(jié)合無法一下子確定最大值在哪里，所以對于n要分類討論。-31時，由圖像可知，最大值是5，即2n=5，n=2.5。所以n=-2或2.5。

學(xué)生6：由題意m<0，n>0，m>1是不可能的。當n<1時，由上題可知最大值為2n，n=-2，不合題意舍去。當n>1時，分2類，①n-1<1-m，即m+n<2，當x=m時，取最小值2m，最大值是5，即m=-2，n=2.5，m+n=0.5;②n-1>1-m，即m+n>2，最大值是5，n=2.5，最小值是2m，即當x=n=2.5時，m= ，不合題意舍去。

這兩位學(xué)生的回答都非常精彩，是班級里的佼佼者，也是小組討論，集體的精華。

教師提問：請思考：問題2與問題1的區(qū)別在哪里？如何把它轉(zhuǎn)化？

學(xué)生7：問題1的拋物線解析式已知，自變量取值范圍已知，而問題2的自變量取值范圍中有字母，所以要分類討論。

教師總結(jié)：當自變量的取值范圍未知時，那么我們就要對該取值范圍在對稱軸的左側(cè)，右側(cè)還是兩側(cè)進行分類討論。

設(shè)計意圖：本題設(shè)計主要讓學(xué)生根據(jù)圖像的對稱性進行分類討論，探索函數(shù)在取值范圍內(nèi)的單調(diào)性和最大最小值問題。

3、深化應(yīng)用

問題3：當 時，二次函數(shù) 有最大值4，則m的值是

學(xué)生8：m>1時，對稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的右側(cè)，y隨著x的增大而增大，當x=1時，最大是4，即把x=1代入解析式，解得m=2，當m<-2時，對稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的左側(cè)，y隨著x的增大而減少，當x=-2時，最大是4，即把x=-2代入解析式，解得 ，不合題意舍去。對稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的之間，最大值為m2+1=4， ， 符合題意。所以m=2或 。（本題是在教師和學(xué)生的共同探索討論得到）。

教師提問：請思考：問題3與問題1的區(qū)別在哪里？又該如何把它轉(zhuǎn)化。

學(xué)生9：問題3的自變量的取值范圍已知，拋物線的頂點坐標含有字母m，只要把拋物線的對稱軸在自變量的右側(cè)、左側(cè)、兩側(cè)，即可分類討論。

設(shè)計意圖：本題的設(shè)計延伸了上一題的問題，學(xué)生根據(jù)已知自變量的取值范圍，而未知對稱軸的位置，同樣可以轉(zhuǎn)換為對稱軸在自變量的左側(cè)，右側(cè)，和兩側(cè)進行分類，關(guān)鍵還是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換思想，讓學(xué)生的思維上升了一個臺階，培養(yǎng)了學(xué)生探索問題的能力。

二、教學(xué)設(shè)計流程

主線：定軸定區(qū)間→定軸動區(qū)間 →動軸定區(qū)間

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論

三、教學(xué)思考

1、立足教材，適當延伸教學(xué)

初中復(fù)習(xí)課教學(xué)先要立足課本，讓所有學(xué)生都掌握基本知識，讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也獲得成就感，但也要適當?shù)募由罱虒W(xué)內(nèi)容，讓班級中基礎(chǔ)較好的學(xué)生在掌握已有的知識的前提下，適當拓展和深化知識點。如本節(jié)復(fù)習(xí)課從最基礎(chǔ)的已知函數(shù)和已知自變量的取值范圍內(nèi)求最值，拓展到已知函數(shù)，未知自變量的取值范圍的情況下求字母的值，再深化到已知自變量的取值范圍，未知函數(shù)，求字母的值，讓學(xué)生觀察體驗函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的一些特征，有利于發(fā)展學(xué)生的認知能力。

2、重視知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是死記硬背，而需要學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)問題，探索問題和解決問題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要根據(jù)學(xué)生的實際情況，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和解決問題的能力，由于高中數(shù)學(xué)對學(xué)生學(xué)習(xí)提出更高的要求，因此，我們在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注意打好基礎(chǔ)，例如本節(jié)課深化和拓展時通過數(shù)形結(jié)合得到答案，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

3、關(guān)注深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)探索能力

在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，不僅要讓學(xué)生知其然，更應(yīng)讓學(xué)生知其所以然，教師不要讓學(xué)生停留在學(xué)習(xí)的表面，要設(shè)計有深度的問題，讓學(xué)生深入探索問題的本質(zhì)，讓學(xué)生思維能夠深入發(fā)展。這種良好的學(xué)習(xí)方式有益于今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也有益于將來高中課程的學(xué)習(xí)，甚至對學(xué)生的終身學(xué)習(xí)都有好處，更好的培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。本節(jié)課的設(shè)計中，整節(jié)課圍繞著函數(shù)的增減性和最值性這個知識點，有易到難，數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生探究問題和深入思考問題的能力，對將來的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

參考文獻

[1] ?施賢宜。關(guān)注銜接教學(xué)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)——以二次函數(shù)復(fù)習(xí)課為例。初中數(shù)學(xué)教與學(xué)