橫風下移動列車非定常氣動力計算

姚志勇，張 楠，程澤農

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

隨著中國鐵路事業的快速發展，橫風效應對鐵路列車的運行安全起著至關重要的作用[1]。當前主要是基于車軌耦合動力學理論來計算列車在風荷載下的動力響應，再通過一系列的安全指標來確保列車的橫風穩定性[2]。Li 等[3]、郭薇薇等[4]、劉德軍[5]對此問題展開了一系列研究。作為列車穩定性計算的重要輸入，精確地模擬作用在列車上的風荷載是十分重要的。

當列車在線路上行駛時，其車體暴露在空間的湍流風場中。因此在非定常力模擬時，需要提前知道作用在移動列車上的風速時程。Cooper[6]基于Taylor[7]“凍結”湍流假定并考慮Von Karman譜推導了湍流風場中作用在移動點上的脈動風速譜；隨后，Wu 等[8]基于Cooper 的理論，通過數值方法給出了考慮Simu 譜后移動點的脈動風速譜；目前關于移動點風速譜更一般的表達式已經被相關的研究者[9?11]給出。此外，根據列車當前運動時刻對地面風場中相鄰點瞬時風速進行插值也可以獲取移動列車的脈動風速時程[2?5]。

針對列車的橫風穩定性問題，英國學者Baker等[12?13]開展了大量的實車測試、風洞試驗以及數值模擬來分析列車的橫風氣動力；意大利學者Cheli等[14]也對鐵路列車的橫風氣動性能進行了相關的研究。需要注意的是，以上的研究中只考慮順風向湍流對列車的影響。Li 等[3]推導了同時考慮順風向和豎向湍流的移動列車氣動力計算公式，但忽略了由脈動分量引起的合成風偏角脈動；Yu 等[15]綜合考慮了順風向和側向湍流對合成風偏角的影響，給出了不同橫風風向角下非定常力的表達式。事實上，在空間湍流風場中行駛的列車通常會同時受到三個方向的湍流作用，因此僅僅考慮部分湍流對移動列車的影響是不全面的。

針對上述問題：本文首先介紹了兩種方法來獲得移動列車上的風速時程；然后基于準定常理論并考慮氣動權函數的影響，推導了橫風作用下移動列車非定常氣動力的計算公式，該公式不僅可以同時考慮三個方向的湍流脈動，還可以考慮任意橫風風向角效應；最后通過數值算例研究了橫風風向角和不同湍流脈動分量對氣動力的影響。

1 移動列車脈動風速時程模擬

在風場模擬時，通常不考慮湍流風在各個方向的相關性，將復雜的空間風場視為三個相互獨立且垂直的一維脈動風場。如圖1 所示，當平均風速為U時，空間內任意一點(x0,y0,z0)在笛卡爾坐標系下t時刻的風速可表示為：

式中，u(t)、v(t)、w(t)分別表示順風向、橫風向以及豎向的脈動分量。

相關研究[9,11]已經表明，作用在移動列車上的脈動風速是一個與時間和空間相關的函數，目前主要通過兩種方法來獲得：基于地面離散固定點的差值方法和基于Taylor“凍結”湍流假定的單移動點模擬方法。

固定點差值方法原理如圖2 所示，首先將列車運行的線路通過有限的固定點進行離散，再人為地模擬出各點的風速時間序列。圖2 中當列車由P點向P′點運動時，根據列車當前運動時刻對風場中相鄰模擬點的風速進行差值便可得到移動列車所經歷的脈動風速時程。模擬時，我們假定各離散點的平均風速、風速譜和標高均保持不變，且相鄰離散點之間是等間距的。通過諧波疊加法，第j個離散點的順風向脈動風速時程uj(t)可表示為：

式中：Su(ω)為順風向的脈動風速譜；G(ω)為不同模擬點間的相關系數矩陣；Δω為離散的頻率區間；j=1,2,3,···,n；n為線路上模擬點總個數；N為離散頻率的總個數；ωmk為第m個模擬點在第k個截斷頻率處的頻率值；φmk是在區間0～2π內均勻分布的隨機變量。類似地，可以得到第j個離散點側向和豎向的脈動風速時程vj(t)、wj(t)。

圖1 空間湍流風場示意圖Fig.1 Diagram of spatial turbulent wind field

圖2 移動列車風速時程提取示意圖Fig.2 Scheme for extracting time histories of wind velocity on a moving train

單移動點模擬方法由Cooper[6]在1984 年首次提出，其主要是基于Taylor[7]“凍結”湍流場的流動假定，即當平均風速很大時，可以看成平均風速攜帶著湍流成分一起遷移，但在很短的時間τ 內，流場中一定范圍內的湍流脈動還沒來得及發生演變就會來到下一個觀測點。如圖3 所示，移動列車以速度V在t時刻由P點經過很短的時間τ 后到達P′點，此時我們可以在流場中找到P′點在t時刻的等效凍結點P′e。根據Taylor 的假定，P和P′點的互相關系數與P和P′e點的互相關系數系數等價，即：

式中：SuM(ω)為移動點順風向的脈動風速譜；其它各參數的意義與式(2)中保持一致。本文中的移動列車風速譜采用Li 等[9]所提出的表達式，它不僅能考慮不同的地面風速譜，還能考慮不同來流風向角的影響，具體可參考文獻[9]。

圖3 基于移動點的Taylor“凍結”湍流場示意圖Fig.3 Diagram of Taylor ‘frozen’ turbulence field based on a moving point

通過以上可知，基于固定點差值的方法由于事先需要考慮地面各離散點之間的相關性來生成脈動風速時程，因此其計算量較大，效率較低，同時其差值的結果還會受到離散間隔的影響；而基于單移動點的方法利用Taylor“凍結”假定巧妙地將繁瑣的多變量模擬轉化為簡單的單變量模擬，其無疑是一種更高效的計算方法。但是對于風車橋耦合振動等問題而言，采用時域方法計算時需要同時考慮作用在列車和橋梁上的風荷載，為保證列車長度方向脈動風的空間相關性與順橋向的相關性保持一致性，此時移動列車的脈動風速只能通過固定點差值的方式得到。因此，在計算中應該針對具體的實際問題選擇適當的方法來獲得移動列車的脈動風速時程。圖4 給出了在車速為40 m/s，風速20 m/s 和15%湍流強度時，通過兩種方法計算得到的移動列車順風向的脈動風速時程曲線。

圖4 移動列車順風向的脈動風速時程Fig.4 Time histories of longitudinal wind velocity on a moving train

2 移動列車橫風非定常力計算

當橫風的平均風速為U，移動列車以恒定的速度V在軌道上行駛時，其作用在列車上的風速矢量關系如圖5 所示。

圖5 作用在移動列車上的風速矢量圖Fig.5 Diagram of speed vectors on a moving vehicle

根據圖中的矢量關系，作用在移動列車上的瞬態風速可表示為：

式中：VR為移動列車上的瞬態風速；α 為橫風的風向角。另外，瞬態風速也可以分解為：

其中：

式中：VR和VR′分別為瞬態風速的平均項和脈動項。一般來說，平均風速U和車速V相對于脈動風速很大，可忽略脈動風的高階項，聯立式(5)～式(7)可得：

式中：ρ 為空氣密度；A是車體的參考面積；CF是氣動力系數，它與風攻角θ 和合成風偏角β 有關；θ 與脈動風速w有關；β′和β″分別為脈動風速u和v引起的脈動風偏角。需要注意的是由于脈動風速是隨時間是變化的，因此，氣動力系數CF也是隨時間不斷變化的。利用二元函數的Taylor展開公式，氣動力系數CF可以近似地表示為：

對式(15)采用以下的簡化書寫：

由于風速的脈動分量u、v、w引起的脈動風偏角β′、β″和風攻角θ 很小，它們可以近似地表達為：

將式(19)代入式(18)并忽略脈動風的高階項，可得：

其中：

對式(21)在u=0 和v=0 處進行Taylor 展開，忽略高階項的影響，可得到g(u,v)的近似表達式為：

將式(22)代入式(20)，忽略脈動風的高階項可得：

將式(12)、式(16)、式(17)和式(23)代入式(13)，忽略脈動風的高階項，可得作用在移動列車上的非定常力：

其中：

式中，Fu′、Fv′和Fw′分別為脈動風速u、v、w引起的脈動力。

當橫風的風偏角為90°，且僅考慮順風向的脈動風速u時，此時非定常力的脈動部分可表示為：

此表達式與Baker[13]提出的計算公式完全是等價的。當考慮脈動風速u和w，且忽略合成風偏角的脈動，此時非定常力的表達式與Li 等[3]的結果保持一致，詳見文獻[3]。當同時考慮脈動風速u和v時，同樣可以得出Yu 等[15]推導的結果，詳見文獻[15]。以上的結果表明，本文給出的一種同時考慮三個湍流分量的移動列車非定常氣動力計算公式與先前的研究結果是完全吻合的。

需要注意的是，式(24)的結果是基于準定常假定推導的，其顯著的特點是力的脈動與風速的脈動完全保持一致。事實上，大量的風洞試驗[10]和實車測試[12]表明列車的外形和懸掛特性會濾掉湍流風場中一些小尺度的漩渦。此時，需要引入時域內的氣動權函數hF(τ)來對準定常的結果進行修正。引入氣動權函數后，式(24)中的脈動部分可修正為：

式中，hF(τ)為氣動權函數，其可以通過頻域內的氣動導納函數XF(ω)通過Fourier 變換得到：

式中：ω為頻率；i 為虛數單位。參考Baker 等[12?13]的研究，列車的氣動導納函數定義為：

式中，SF(ω)和Su(ω)分別為作用在移動列車上的力譜和風速譜，可以通過風洞試驗或實車測試得到。

通過以上的推導，我們可以得到作用在移動列車上的非定常側向力S和升力L的表達式：

需要注意的是，由于豎向湍流的影響，需要通過以下的轉換將氣動力換算到列車的坐標平面：

式中：FS和FL分別為列車坐標系下的氣動側向力和升力。考慮到θ 很小，因此可以近似地假定cosθ≈1。將式(17)和式(30)代入式(31)，于是可以得到：

同樣地，我們可以得到作用在列車上的氣動力矩，這里不再給出具體的計算公式。

3 數值算例

3.1 計算參數

通過式(32)可知，在進行非定常力模擬時需要提前知道移動列車的氣動力系數和氣動權函數。目前許多學者已經通過風洞縮尺試驗[10]、實車測試[12?13]以及CFD 數值模擬[16?17]等方法對列車的空氣動力學特性進行了研究，給出了氣動力系數和權函數的近似表達式。這里采用Baker[13]的研究成果，認為氣動力系數CF與合成風偏角的正弦值成正比：

式中，KF為合成風偏角為90°時的氣動力系數。使用Yan 等[10]風洞試驗得到的高速列車氣動力數據，通過式(33)對試驗結果進行曲線擬合，得到不同風攻角下列車的KF值如表1 所示。圖6 給出了擬合曲線和原始試驗數據之間的對比，其中散點為試驗數據。

移動列車的氣動權函數反映了湍流中各脈動分量與非定常氣動力在時域內的傳遞關系，目前對其的研究還相對較少。通常假定各方向的湍流分量對氣動力的影響是相同的，即在計算氣動荷載時順風向、側向與豎向均采用相同的權函數。這里我們同樣采用Baker[13]提出的近似表達式：

計算中，采用0.05 s 的時間步來模擬大約50 s的力時程。同時所有的計算工況均考慮15%的湍流強度，列車的參考面積取60 m2，長度取20 m。

表1 不同風攻角下列車的KF 值Table 1 KF for various wind attack angles

圖6 不同偏角和攻角角下列車的氣動力系數Fig.6 Aerodynamic coefficients of trains for different yaw angles and attack angles

圖7 氣動權函數Fig.7 Aerodynamic weighting function

3.2 模擬的氣動力

采用第2 節中的計算公式和3.1 節中的計算參數，圖8 給出了在20 m/s 風速，40 m/s 車速和90°風向角下，通過準定常法和權函數法模擬出的側向力時程曲線，其對應的功率譜如圖9 所示。

由圖8 中可以看出，使用兩種方法模擬的力時程都在平均力附近波動，且波動的整體規律基本保持一致。但是，由于權函數的濾波效應，使權函數法模擬的時程曲線明顯比準定常法模擬的結果光滑。同時，由于權函數方法實際上是基于準定常結果的卷積積分，因此考慮權函數后的力脈動相對于準定常結果大約有0.25 s 的時間滯后。由于權函數濾掉了湍流風中的高頻脈動成分，所以圖9 中通過準定常方法模擬的功率譜在高頻范圍內(大于1 Hz)具有更高的能量。

圖8 模擬的非定常側向力時程Fig.8 Simulated time histories of unsteady side forces

圖9 模擬的非定常側向力功率譜Fig.9 Simulated power spectra of unsteady side forces

通常人工模擬的脈動風速時程u、v和w均為平穩的高斯隨機過程，服從均值為0 標準差分別為σu、σv和σw的正態分布。由于各方向的湍流分量是相互獨立的，因此式(24)中的非定常氣動力也是服從均值為的正態分布，其標準差可通過以下的表達式獲得：

式中， σFu′、 σFv′和 σFw′分別為脈動力的標準差。類似地，同樣的結果可以應用到基于權函數方法的模擬中。圖10 給出了統計的概率分布與目標正態分布(實線)之間的對比。從圖10 中可以看出，統計分布結果與目標的正態分布保持一致。考慮權函數后得到的氣動力標準差明顯小于準定常法得到的標準差。

圖10 非定常側向力的概率分布Fig.10 Probability distribution of unsteady side forces

3.3 湍流成分和來流風向角效應

在以往的研究中通常只考慮順風向的湍流并假定橫風始終垂直于列車的運動方向。因此，本小節將討論不同方向的湍流成分以及來流風向角對非定常氣動力力的影響。

考慮車速和風速分別為40 m/s 和20 m/s，不同湍流分量和來流風向角下非定常側向力的時程曲線和概率分布如圖11 所示。從圖11 中可以看出，總體的趨勢是當考慮更多方向的湍流分量后，將會獲得更大的力脈動和標準差。同時，氣動力還會受到橫風風向角的影響：當風向角為60°和90°時，側向脈動分量v對非定常側向力的影響很小；當風向角向兩邊移動時，脈動分量v對力的影響開始逐漸增大。觀察圖5 可知，如果風向角α 接近90°，此時作用在列車上的有效側向脈動風速很小，因此側向脈動分量對力的影響也很小。

通過式(24)和式(36)，可以得到脈動力的變異系數有如下關系：

圖11 不同湍流分量和風向角下非定常側向力的力時程和概率分布Fig.11 Time histories and probability distribution of unsteady side forces for different turbulent components and wind directions

圖12 橫風風向角對非定常側向力的影響Fig.12 Effect of wind direction on unsteady side forces

通過第3.2 節的分析可知，當車速和風速被給定以后，脈動力的變異系數便只與橫風偏角有關。圖12 給出了在20 m/s 風速和40 m/s 車速時，非定常側向力的平均值與變異系數隨橫風風向角變化的情況。由圖可知，氣動力的均值隨風向角的變化呈現出不對稱的波峰分布，大概在75°出現最大值。由式(24)可知，氣動力的均值主要與作用在列車上的合成風速和無量綱的氣動力系數有關。當來流風向角由0°向180°變化時，由式(33)可知，氣動力系數按照正弦函數的變化規律先增大后減小，因此圖12(a)中的平均力也呈現出先增大后減小；但由于平均合成風速的影響，因此氣動力的變化是不對稱的。從圖12(b)中可以看出，由側向脈動分量產生的變異系數對來流風向角十分敏感，大約在75°風向角時出現變異系數接近0 的極值，這說明在式(25b)中的系數Cv會出現零點。這也很好地解釋了為什么圖11(b)和圖11(c)中側向脈動分量v對非定常側向力的影響很小。

4 結論

基于準定常理論并考慮氣動導納函數的影響，本文推導了在完全湍流風場中移動列車橫風非定常氣動力的計算公式，并通過數值算例研究了不同參數對計算結果的影響。主要研究結論如下：

(1)基于離散固定點的差值方法和Taylor“凍結”湍流假定的單移動點模擬方法，得到了作用在移動列車上的瞬態風速時程，并總結了兩種方法的優缺點和適用性。

(2)分別給出了通過準定常法和權函數法計算移動列車非定常氣動力的表達式，該公式能同時考慮三個方向的湍流脈動和任意橫風風向角的影響，這對于后續分析列車的橫風穩定性具有重要意義。

(3)數值算例表明：采用權函數方法得到的非定常力會出現濾波和時間滯后效應；當湍流中更多方向的脈動分量被考慮時，計算時會獲得更大的力脈動；隨著風向角的不斷增大，氣動力的均值先增大后減小，并在大約75°風向角時出現最大值；側向湍流分量對氣動力脈動的影響不可忽視，其變異系數隨著風向角的增加而先減小后增大，并在大約75°風向角時出現極值。