二次函數問題錯解剖析

房延華

中考試題中有關二次函數的許多題目，求解并不難，但解題時有的同學由于審題不清、考慮不周而錯解，現就筆者在多次參與中考數學閱卷工作中發現的常見錯誤剖析如下.

一、記錯二次函數增減性的范圍

三、曲解題意

例3某種商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件.如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元）.設每件商品的售價上漲x（x為正整數）元，每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍.

（2）每件商品的售價定為多少時每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

分析：有的同學由于沒有理解“每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件”這個條件的意義，而錯列關系式y=（60-50+x）.lOx，從而導致后續步驟也錯誤.正確答案應是：（1）y=60-50+x）.（200-10x）=一10（x一5）2+2 250（0

四、缺乏分類意識

例4如圖1.二次函數y=ax2-4x+c的圖象經過坐標原點，與x軸交于點A （-4，0）.

五、忽略實際問題中自變量的取值范圍

例5某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查發現：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元時，就會少售出10件玩具.

（1）不妨設該種品牌玩具的銷售單價為x（x>40）元，請你分別用含x的代數式來表示銷售量y（件）和銷售該品牌玩具獲得的利潤W（元），并把結果填寫在表1中.

（2）在第（1）問條件下，若商場要獲得10 000元的銷售利潤，則該玩具銷售單價應定為多少元？

（3）在第（1）問條件下，若玩具廠規定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務，則商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少元？

分析：大部分同學都能順利解答前兩個小題，答案如下：

（1）如表2.

（2）當W=10 000時，可得方程_lOx2+1 300x-30 000=10 000.解得x1=50，X2=80.

答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10 000元的銷售利潤.

對于第（3）小題，有的同學是這樣解的：

W=-10x2+1 300x-30 000=-10 （x-65）2+12 250.

當x=65時，最大利潤為12 250元.

這個解法是錯誤的，原因是忽略了條件“銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務”對x的限制，頂點橫坐標在自變量的取值范圍內時，二次函數在圖象的頂點處取得最值：頂點橫坐標不在自變量的取值范圍內時，可借助圖象進行分析以求得最值.