一道質檢函數壓軸題的多解及推廣

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春 夏逸天

函數壓軸題是高考數學的重要題型．從直接法、導數定義法、指數不等式法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、洛必達法則、等價替換、函數凹凸法等視角，對一道百校聯盟2020屆教育教學質量監測函數壓軸題進行了解法探究，并對該題進行了推廣．

1.試題呈現、分析與評注

(1)討論函數f(x)在(0,+∞)上的單調性；

(2)若對任意的x∈(0,+∞)，f(x)

分析：問題(1)運用導數方法易得,過程略．對于問題(2)，欲求f(x)1+x+ax2恒成立時參數a的取值范圍．

評注：該試題的形式優美、結構簡單、思路開闊、解法多樣，且蘊含豐富的數學思想，如分類、參數、極限、構造、化歸等思想，是一道值得探究的好題，下面將主要對問題(2)進行解法探究和推廣．

2.解法探究

此處可繼續用柯西中值定理、洛必達法則、構造導數定義，此處不再給出具體的步驟．

解法6：(洛必達法則)由解法2可知：a<

3.問題推廣

推廣3 對任意x∈(0,+∞)，不等式xex>1+ax+lnx恒成立，求實數a取值范圍．

提示：用xex=elnx·ex=ex+lnx>1+x+lnx，當且僅當“x+lnx=0”時等號成立．

推廣4 對任意x∈(0,+∞)，若不等式xex>1+x+lnx+a(x+lnx)2恒成立，求實數a取值范圍．

推廣5 對任意x∈(0,+∞)，n>0，若不等式xenx>1+ax+lnx恒成立，求實數a取值范圍．

提示：解決方法同推廣3．當且僅當“nx+lnx=0”時，等號成立．

推廣6 若對任意x∈(0,+∞)，n>0，若不等式xenx>1+nx+lnx+a(nx+lnx)2恒成立，求實數a取值范圍．

推廣7 對任意x∈(0,+∞)，m>0，若不等式xmex≥1+x+mlnx+a(x+mlnx)2恒成立，求實數a取值范圍．

提示：解決方法同推廣4、6．當且僅當“x+mlnx=0”時，等號成立．

推廣8 對任意x∈(0,+∞)，mn>0，若不等式xmenx>1+nx+mlnx+a(nx+mlnx)2恒成立，求實數a取值范圍．

以上推廣，可以根據學生的具體情況，有選擇的將其納入數學課堂教學．