經歷探究過程，發現數學定理

毛凱捷

摘? 要：在小學數學教學中，促進學生“理解規則概念，獲得方法策略，體驗思考價值，感受學習愉悅”是根本。小學生對于數學定理的學習是存在一定困難的，教師不能給學生“拋定理”，而應該通過引發數學猜想、聚焦數學思考、開展分層教學的策略引導他們經歷數學探究的全過程，從而在這個過程中自主發現數學定理。基于此背景，對《三角形的三邊關系》一課的教學進行了探究，希望能夠為廣大小學數學教師的教學提供借鑒。

關鍵詞：小學數學;定理;探究;三角形的三邊關系

《數學課程標準》強調，在數學教學活動中要“淡化形式，注重實質”。在數學知識體系中涵蓋了諸多數學符號、數學概念、數學定理，在引導學生學習數學的過程中，教師應該讓學生對數學本質進行深刻理解。數學定理在小學數學知識體系中，是非常關鍵的內容，教師不能給學生“拋定理”，而應該引導他們經歷數學定理的探究過程，這樣，才能有效地促進他們數學核心素養的提升。以下，我結合《三角形的三邊關系》一課的教學來談一談如何引導學生經歷數學定理的探究過程。

一、引發數學猜想，驅動數學探究

數學猜想是數學探究的基礎，同時是數學探究的“動力”。小學生在數學學習的過程中，經常會根據自己原有的數學經驗對數學新知進行猜想，但這一種數學猜想是“零星化”的，因此，教師需要根據教學內容及學生的原有經驗，為他們提供能夠引發更多數學猜想的學習素材，這樣，他們就能夠在數學猜想的過程中自主提出研究問題，從而產生數學探究的“沖動”。

在《三角形的三邊關系》一課的教學中，我首先給學生呈現這樣的問題情境：將一根長度為18厘米的細鐵絲折成一個三角形，這個三角形的三條邊的長度可能是多少厘米？（每條邊長必須取整厘米數。）

生1：這個三角形三條邊長可能都是6厘米。

生2：三條邊長的長度也可能是5厘米、6厘米、7厘米。

生3：我覺得可能性很多很多。

生4：我覺得不可能是2厘米、4厘米、12厘米。

生5：3厘米、6厘米、9厘米也不可能。

這樣，讓學生基于18厘米長的鐵絲折成的三角形的三邊長度關系展開猜想，他們便能直觀地感知三角形的三邊關系：三角形三條邊的長度有很多種可能，但存在一定的規律。由此驅動他們的數學探究。

二、聚焦數學思考，推進探究過程

數學教育的本真在于“思考”，在這一堂課的教學中，應該如何將數學思考的價值體現出來呢？教師為學生設計具有沖突性的操作活動十分重要，要引導他們圍繞原先的數學猜想展開自主探究與反思，從中挖掘數學的本質。

1. 借助“問題”導學，推進操作探究

在小學數學課堂教學中，教師要善于為學生設計“大問題”，把數學探究的任務融合于“大問題”之中。在這一堂課的教學中，引導學生進行動手操作是最有效的方式，因此，要通過“大問題”導學推進他們操作探究的進程。

師：老師剛才把你們說的三角形三條邊長度的可能性填到了表格中。（呈現表格。）

師：現在請你們利用學具袋中的細鐵絲來折一折，并在學習單中記錄你的發現。然后思考：為什么同樣是一根鐵絲折成三段，有的三條邊可以圍成三角形？有的三條邊不可以組成三角形？（學生完成以后，組織反饋。）

生1：通過操作驗證，前面兩組可以圍成三角形，后面兩組不能圍成三角形。

生2：在三條邊中，如果兩條邊長度之和等于第三條邊，就不能折成一個三角形。

生3：如果兩條邊之和小于第三條邊，也不能夠圍成三角形。

（借助多媒體教學課件，展示不能圍成三角形的情況，如2、4、6）

生4：5+6>7，因此這樣的三條邊可以圍成一個三角形，只有當兩邊之和超過了第三邊時，才符合三角形的構成條件。（根據學生回答板書：兩邊之和大于第三邊。）

……

數學知識的學習過程需要理性思維的加入。在思考問題的過程中，學生的理性思維逐漸形成。借助這樣的操作，能夠讓學生對三角形三條邊之間的關系形成深刻認知，經一系列的思考與驗證之后，學生才能夠對數學本質的理解更深刻。

2. 創設認知沖突，形成正確結論

小學生在操作探究的過程中，形成的數學結論往往是片面化的，此時，教師就要善于為他們創設認知沖突，引發他們的高階數學思維，以此在深入思考的過程中形成正確的數學結論。

師：在第四組折法中6+9>3，這也符合兩邊之和大于第三邊的結論呀？為什么折不成三角形？

生1：看起來好像符合要求，但好像也不對。

生2：按照這種計算方法，我發現有好幾組線段都滿足這種要求。

生3：老師，我好像發現了一些不同，就是我們在判斷三條線段能否構成一個三角形時，不能僅僅只關注到隨意的兩邊之和是否大于第三邊，而是應該任意兩邊之和都需要大于第三邊。你看，當5+6>7，5+7>6，6+7>5時才可以折成一個三角形，否則就不行。

師：那我們是不是需要完善一下之前得出的結論？

生4：任意兩邊之和大于第三邊，符合這一條件的三條邊才能夠構成一個三角形。

師（板書：任意）：你還可以借助其他理由，解釋一下“三角形任意兩邊之和大于第三邊”嗎？

一些學生畫圖進行說明：

生5：在上面這個三角形中，可以將A和B之間的距離記為線段AB，點A過點C到點B之間的距離，等同于點A到點B之間的距離，如此我們可以了解一個道理，兩點之間線段最短，因此，BC+AC>AB。

生6：這樣下結論是比較片面的，我們還可以將AC看成是點A到點C之間的距離，點A過點B到點C之間的距離，等同于點A到點C之間的距離，如此我們也可以獲得兩點之間線段最短這個定理，因此AB+BC>AC;而AB+AC>BC。

生7：老師，兩點之間的折線距離，明顯長于線段距離，可見兩點之間線段最短。

師：看來大家對于三條線段能否圍成一個三角形這一知識點，已經了解得差不多了，但是每次都這樣判斷，是不是太麻煩了，能否簡化該結論呢？

生8：較短的兩條線段之和超過較長的第三邊就符合三角形構成規律……

一根鐵絲按照不同的方式折疊，能夠得出不同的結果，能夠圍成三角形的三條邊，與不能夠圍成三角形的三條邊通過對比分析的方式產生沖突，以此得出結論：三角形的任意兩邊之和都大于第三邊。但由于該條定理應用起來有點麻煩，因而通過進一步探討，得出“三角形的最短兩邊之和必須超出較長的第三邊”這一結論。雖然一路看似比較坎坷，但過程是美好的，過程體驗也是最重要的。整個過程，從一般到特殊，在課堂上，學生歷經的“磨難”越多，意味著他們的思維碰撞次數越多，如此對于加強他們的課堂體驗非常有利，教學目標最終也能夠順利實現。

三、開展分層教學，激發探究潛能

學生是一個個鮮活的生命體，他們的思維處于不斷變化中，不同學生的思維方式、思維特征不同，教師應該給予每一個生命體充分的尊重，讓每一位學生能夠積極參與到課堂教學活動中。教師應該結合學生的個體差異性，設計層次化的教學環節，讓課堂上充滿了多種聲音，讓課堂不再枯燥乏味。教師需要整合不同的要素，將每一位學生的探究潛能激發出來。

在這一堂課的教學中，我突破傳統教學流程，關注學生之間的差異，進行分層教學，給學生提供兩根小棒，其中一根長4厘米，另外一根長5厘米，引導學生在這2根小棒的基礎上，找到能夠搭建三角形的第三根小棒，第三條邊最短為（? ）厘米，最長為（? ）厘米。（取整厘米數）。這樣，學生在得出了“三角形的兩條短邊之和大于第三邊”這個規律之后，學生的思維又被拉入了一個新的問題中……

生1：假設第三條邊最長為5厘米，想4+（? ? ）>5，4+2>5，因此，第三條邊最短為2厘米。

生2：假設第三條邊最長為5厘米，那么5-4=1，這樣，兩條短邊一樣，如此無法拼成三角形，增加1厘米，便符合構成三角形的條件，于是5-4+1=2厘米。

生3：假設未知數是最長邊，那么根據4+5>（? ? ），得知第三條邊最長可以是8厘米。

生4：假設未知數是最長邊，那么根據兩條短邊之和大于第三邊的規律，得出4+5=9，減去1厘米就得出最長邊為4+5-1=8厘米。

已知兩條邊的長度求能夠構成三角形的第三條邊的長度，這樣的問題對于學生而言，具有很大的挑戰性。不同的學生，其認知方式也存在較大差異，因此，應該鼓勵不同的學生說出自己真實的想法，與大家一起交流和討論，這樣，就能夠促進不同層次的學生在原有基礎上得到不同的發展。

在這節課上，學生獲得了深刻的學習體驗，在每一個問題的引導下，學生經思考之后，離數學定理的距離越來越近。回歸數學本質，才是真正意義上的教學。在理解數學學科教育價值的基礎上，對師生互動式課堂進行設計與構建，符合新課程改革要求。勤于思考，是學好數學的關鍵，也是挖掘數學本質內涵的關鍵，是把握數學思想的關鍵，也是掌握數學定理的關鍵。在課堂上，教師應該關注每一位學生的課堂體驗，讓學生成為有思維的生命體，讓學生懂得如何借助自己的思維能力解決問題，讓學生的數學思維得到發展，彰顯出數學的教育價值。