角的分類教學要把準“火候”

陶繼峰

摘? 要：角的分類其實是一個簡單的概念，角度的測量也不是難點，但對于小學生而言，在學習這部分內容之前，既不要求掌握量角器的用法，測量角的度數，也不要求給三類角下定義，只需要初步認識銳角、直角、鈍角，并能辨識和區分它們。此時，教學的火候很重要，既不能“過火”也不能“欠火”。

關鍵詞：案例;三角;銳角;直角;鈍角;比較

一次聽課，看到某位教師講到角的分類，是按照如下方法進行講解的。方法不成問題，沒有重大失誤，但總覺得火候不夠，學生沒有直觀地領悟到銳角和鈍角在形貌與性狀上與直角的關聯與區別，同時又覺得如果繼續深入地教會學生量出角的大小，然后直接用數據說話——大于90°的是鈍角，小于90°的是銳角，又有些超綱、超前，不利于學生的自然成長。那么，如何在直觀感知與邏輯判斷之間找到平衡，是我們研究的關鍵。

師：圖1屬于哪類角？擴放后又屬于哪類角？圖2屬于哪類角？

師：上述這些角都屬于什么角？（直角）這些角有什么特征嗎？（直角都一樣大）

師：在紙片○里畫一個與直角不同的角。

（學生畫角并反饋。）

師：能把這些角分門別類嗎？按什么標準分類較為妥當？

（學生合作交流后，一致表示將角分為兩類。）

師：用“三角尺”里的“直角”與畫在黑板上的直角圖形比對，分出大小。

師（小結并板書）：如圖3所示。

師：請大家用“三角尺”中的“直角”測度一下自己畫出的角，并判別屬于哪類角。

（學生操作反饋。）

一、案例分析思考

上述案例中，教師以直角為突破口，通過畫角、劃歸類別、對比，指引學生很直觀地看出：開口程度小于直角的是銳角;開口程度大于直角的是鈍角。教學過程算得上行云流水，絲絲入扣。然而，筆者依然困惑。眾所周知：度數為90°的角是直角;度數小于這個標準數值的角稱為銳角;度數大于這個分界線的角稱為鈍角（浙教版初中課本七上）。當然，在小學階段，這種精確定義實無必要。那么，像“小于直角的角統統是銳角，大于直角的角統統是鈍角”這種表述妥帖嗎？能否找到更嚴謹、周全的表述呢？為此，筆者先后查找了人教版和北師大版兩版教材，意圖從教材中找到一些蛛絲馬跡。

圖4是人教版課本對三種角的概念描述。這種文辭緊扣三種角的典型特征，通過“實物圖”與“數學角”的互為印證，令學生接受三種角的直觀模型，正確全面地認識三種角，單刀直入，直白曉暢。

圖5是北師大版課本對三種角的文字描述。乍一看，與人教版課本雷同，細看之下，卻又略有差別，主要是增添了若干指示代詞（這）與判斷動詞（是）等語詞，將三種角的外延刻畫得更加確切。

無論是人教版教材還是北師大版教材，對于學生認識三類角，都不約而同地采取了直觀比較法。簡言之，就是以直角為標尺去定性地衡量角度的大小，按照直角的標準將角分為三類。值得提倡的是，樹立直角的標準時，不是簡單淺薄地以90°來定義（那樣的話，使用量角器就會在所難免，成為新的難題），而是采用學生常見的幾何作圖工具“三角尺”來直觀操作，在教會學生辨認三角尺的三個角的特征時，利用三角尺中現成的直角來作為分類標準。不僅如此，三角尺中的直角還順帶成為檢測鈍角和銳角的裝置，用直觀方法建立對角的分類的抽象認識。

二、對比教材，找出共性

1. 對三種角的概念描述，均是以“直角”為主語，以直角為參照物和標準值，在學生對直角先入為主建立牢不可破的觀念后，再向學生推介銳角和鈍角。

2. 對三種角的認識，不約而同都是以“三角尺”為操作工具，在與三角尺上的“直角”部件的“比對”中直觀看出銳角與鈍角的外部形貌，從而對銳角和鈍角建立敏銳直覺。

3. 對三類角的描述都切中了要害，扣住了顯著特征，特別是在認識銳角與鈍角時，主要從與直角的大小比較來區分。

由此，我們發現一個現象，課本對三類角的引介都采取了“直敘”法，而非“定義”法。這是學生在尚未接觸“周角與平角”“角的度量”等概念前，相對而言比較通俗易懂、平實淺白的提法。有些專家也認為：“在小學階段，有些概念的提出，盡量淺顯平白，不必咬文嚼字。”但筆者以為，學生用“自己的經驗來思考并直抒胸臆，將最真實的想法說出來”，是返璞歸真的表現，反饋的是學生最本真的思考狀態。

既要讓學生明確角大致分為三類以及三類角的特征和性質，但又不能明言，更不能用專業術語來下定義，這個時候就考驗了編者和教者的教學功力。學生本身是具有一定的認知能力的，他們天生具備一定的分辨能力，只要緊緊抓住這點微光，大做文章，精心運作，是可以化腐朽為神奇的。那就是通過角度開口大小的直觀重疊對比，從視覺上辨別出大小，然后引導學生認識大于直角的是鈍角，小于直角的是銳角，在直角的基礎上衍生出鈍角和銳角兩個新概念。這樣一來，直角、銳角、鈍角就形成一個認知結構體，它們之間相互呼應，并且對將來學習平角與周角起著重要的作用，因為這種用直角作為杠桿翹起其他概念生成的方法還可以繼續遷移下去，如用直角定義平角，然后用平角定義周角。

三、根據課本啟示提出的教學建議

關于角的教學，“課標”對第一學段做出的指示是：“結合生活情境認識角，了解直角、銳角與鈍角”。此處所言的“了解”，筆者以為無非是要讓學生借助經驗直覺，知道將角大致分為三類，每一類的特點是什么，并能以這些特征為尺度來判定一個角屬于什么角，或者能根據性質和要求畫出對應的角。

如何讓教學更加科學有效，筆者結合研讀教材的心得，得出了四點思考：

1. 標準。直角是用來區分銳角與鈍角的標尺，教學時務必抓住直角的基本特征，以直角為標準，在學生純熟掌握其基本特征后，再來認識銳角與鈍角。如教學時不妨讓學生探尋“三角尺”（其中一塊）上的直角部分，樹立直角的“標準”樣本，教師可以直言不諱地說，“此乃直角”，然后讓學生探尋另一塊三角尺或其他物品的直角，讓學生借助模板的借鑒意義，豐富、完善和鞏固直角的清晰概念，入腦入心。

2. 素材。因為小學幾何是直觀幾何，提供的素材越是豐富多彩、涉及面廣，學生掌握相關知識就會越順利、堅固。在為學生搜集、整理、制備“角”的素材時，有兩種選擇。一是像案例中的教師那樣發揚民主精神，讓學生自由畫圖，然后集中匯報展示，這樣生成的資源豐富且真實，但由于學生的個體差異以及不確定因素的存在，不規則或不規范的角便會粉墨登場，干擾視線，掣肘探究。二是教師一手包辦，為學生準備各種不同的角（魚龍混雜），讓學生在操作（用直角去“比照”）中歸類歸總，從而歸納出“銳角”與“鈍角”的概念。但不管采用哪種方法，呈現給學生的素材一定要面面俱到，這樣有利于在大量案例中烘托出角的基本特征。

3. 方法。數學中很多說不清道不明的問題，通過“比照”之后，就不言而喻。“重合比較法”是幫助學生準確區分“銳角”與“鈍角”的重要途徑。教學中教師切記要讓學生盡情去比較，通過“比”，也就是“量”（直觀地比量）的過程來揣摩與反思，讓學生掌握“比直角小”與“比直角大”的精確界限，洞悉“銳角”與“直角”的顯著特征，從而勾描出“銳角”與“鈍角”的概念。

4. 描述。雖然教學時對“什么是銳（鈍）角”只需直敘，但筆者以為，如果在描述時語言能夠更考究些、嚴謹些會更好。反觀蘇教版教材中的一些概念，如“像……這樣的數，都是分數”“像3.50、1.06、16.85……這樣的數，都是小數”，這些也并非嚴苛的學術定義，但卻直白曉暢，淺顯易懂。因此，筆者以為在描述銳（鈍）角時，是否也可以在遣詞造句上下功夫，采用“像、……這樣比直角小（大）的角，都是銳（鈍）角”的句式來表述，一方面容易讓學生建立清晰的銳（鈍）角具象，不會與周角、平角混為一談;另一方面也有效規避了“比直角大的角是鈍角”這樣抽象模糊的表述;同時還與課本中其他概念慣用的語法相同，不會有疏離感。

將角分為直角、銳角、鈍角這三類，非常科學。這樣分類雖然無法做到像用量角器量出度數那樣嚴苛，但卻能夠讓學生張口就答，起碼在小學階段夠用了，進而還可以遷移到三角形的分類上，即直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。這表明，在小學階段，學生對角度的認識只需要搞清楚三類情況就達標，其中只有直角賦予了精確度數（90°），以90°為分水嶺，小于90°為銳角，大于90°為鈍角，常見角的取值范圍為0°至180°。這樣的分類法，在表達一些特殊圖形時大有裨益，如表達鐘表上的時針與分針的夾角等，在表述梯形、矩形、平行四邊形的內角時，也有了恰當的詞匯。另外，銳角、鈍角的名稱也很形象生動、貼切適當。“銳利”和“遲鈍”都是文學形容詞，帶有修辭作用，很容易讓學生理解。