分類討論思想在中考解題中的應用

張成艷 韋宏

摘?要：分類討論的題型是中考數學中重要考查的題型之一，文章以南寧市中考題為例，討論分類討論思想在中考解題中的應用，以此進一步強調分類討論思想在初中數學學習中具有重要的作用，希望學生在學習的過程中能夠重視分類討論思想的學習。

關鍵詞：分類討論思想;中考;解題;應用

分類討論思想是一種重要的邏輯方法之一，它可以加強學習者對數學的學習。九年義務教育2011年初中數學課程標準提到：“數學思想蘊含在數學知識的形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括。”因此，教師要不斷地向學生滲透數學思想方法，豐富學生的數學思想方法的學習。

一、 應用分類討論思想解決初中數學題的重要性

所謂的分類，是把一個“屬概念”分為若干個“種概念”的邏輯劃分方法。分類討論是一種重要的邏輯方法，在初中數學的教學過程中，教師只有重視培養學生分類討論的思想，才可以進一步的提高學生的邏輯推理能力，加深學生對相關數學知識點的理解和掌握。下面將選取幾道南寧市中考考查到分類討論思想的題型進行分析，進一步強調應用分類討論思想對解決初中數學題的重要性。

二、 分類討論思想在中考解題中的應用

（一）分類討論思想在一次函數中的應用

例1?（2009年）甲、乙兩個工程隊參加獅山公園的競標，甲隊鋪設磚的造價

y甲（元）與鋪設面積x（m2）的函數關系如下圖所示;

y乙=kx是乙隊鋪設磚的造價y乙（元）與鋪設面積x（m2）的函數關系式

（1）結合下圖，求出甲隊鋪設磚的造價與鋪設面積的函數關系式

（2）若鋪設磚的面積為1600m2，選擇哪個工程隊進行施工費用最劃算

分析：（1）由圖1可知甲工程隊造價與面積的關系是一個分段函數，運用分類討論的思想，可以把此函數分為兩段進行求解：①當時，設y甲=k1x，把（500，28000）代入y甲=k1x，就可以求出造價與面積地關系;

②當時，設y甲=k2x+b，把（500，28000）、（1000，48000）代入y甲=kx+b，就可以得到造價與面積的關系。要考慮兩種情況求出的關系式，遺漏任何一種情況，都會導致學生被扣分;第（2）題當x=1600，可以求解出甲工程隊的造價，但是乙

工程隊的造價無法進行求解，所以，此時需要運用分類討論思想去考慮乙工程隊的造價范圍。可以分為三種情況進行討論：

第①種情況：當y甲=y乙時;第二種情況②當y甲>y乙時;第三種情況③當y甲

點評：解（1）要懂得判斷該函數是一個分段函數，要懂得運用分類討論的思想去討論在不同的鋪設范圍內，甲工程隊施工的造價與面積的函數關系式是不一樣的。如果在解決本題中學生不懂得運用分類討論的思想去求解造價與面積的函數關系式，那么學生無論是在取哪個鋪設面積的取值范圍，去求解甲工程隊造價與面積的關系式都是不全面的。學生只有掌握分類討論的思想，在解決問題時才能思考全面。解（2）要懂得根據甲工程隊的造價，運用分類討論的思想去討論乙工程隊施工的造價范圍。只有分類的討論乙工程隊的造價范圍，才能知道哪個工程隊的價格劃算。

2009年南寧市中考是在第24題考查了學生分類討論的思想，本題結合了分段函數對學生進行考查。運用分類討論思想是解決本題的關鍵。學生只有掌握分類討論的思想，在解本題時才能夠思考全面。分類討論思想是中考數學中常考的一種思想，學生只有充分地掌握它，在中考解題的過程中才會思考全面，不會遺漏任何一種方法而導致在中考中丟分。因此，教師要注重培養學生的數學思想。如果教師不斷地向學生滲透數學思想，那么學生就能充分地掌握相關的數學思想方法。

（二）分類討論思想在二次函數解題中的應用

例2?（2010年）如圖2，把拋物線y=-x2（虛線部分）先向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到拋物線l1，拋物線l2與拋物線l1關于y軸對稱。拋物線l1與x軸的交點為A點，拋物線l2與x軸的交點為B點，點O為坐標原點。拋物線l1的頂點是D點，拋物線l2的頂點是C點，線段CD交y軸于點E。

（1）設點P是拋物線l1上的任意一點（但不與D、O兩點重合），P點關于y軸對稱的點為Q點，請你判斷四邊形PQCD是什么特殊的圖形？并且說明你的理由。

（2）是否存在點M在拋物線l1上，使得S△ABM=S四邊形AOED，如果存在，請你求出點M的坐標，如果不存在，請你說明理由。

分析：（1）有兩種可能。①當P點是l2的對稱軸與l1的交點時，求解的四邊形CPQD為矩形;

②當點P不是l2的對稱軸與l1的交點時，求解得到四邊形CPQD（或者四邊形CQPD）是等腰梯形。（2）根據拋物線的解析式，可以求出點A，點B，點E的坐標分別為：A（2，0），B（-2，0），E（0，1），可以得到梯形AOED的面積，由圖形可知AB是定長，由三角形ABM的面積，可以求解出點M的縱坐標的絕對值，此時需要分類討論求解點M的縱坐標：①當y>0時，②當y<0時，最后再將點M的縱坐標代入拋物線的解析式中，可以求解出點M的坐標點。

點評：本大題結合二次函數和動點等知識考查了分類討論思想，是中考壓軸題，這類題型學生很難拿滿分。解決本題的關鍵在于學生是否能夠熟練地運用分類討論思想。分類討論思想是中考重點考查的思想方法之一，學生要想在中考中勝出，在遇到這種題型時，就必須會運用分類討論思想去討論每一個情況，學生只有掌握分類討論思想，遇到這類題型才能夠全面地去分析。（1）只有分類的去討論點P的情況，才能夠全面地考慮到四邊形CPQD是什么特殊的四邊形。（2）要懂得判斷根據的面積只是求解出點M的縱坐標的絕對值，需要運用分類討論的思想去求解點M的縱坐標，學生只有熟練地掌握分類討論的思想，在解決本小題時，才能夠全面地考慮到點M的坐標有多種情況。如果學生沒有掌握分類討論的思想方法，那么求解點M的坐標時，學生往往會漏掉某一種情況，導致在中考中丟分。因此，在初中數學教學中，教師要注重培養學生的數學思想，加強學生解決數學問題的能力。

（三）分類討論思想在實際問題中的應用

例3?（2014年）某公交公司計劃購買A型和B型兩種環保節能的公交車一共10輛。購買1輛A型車和2輛B型車，一共需要400萬元;購買2輛A型車和1輛B型車，一共需要350萬元。

（1）在該線路上A型車每輛年均載客的量是60萬人次，B型車每輛年均載客的量是100萬人次。如果該公司購買A型和B型車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛車在該線路的年均載客量總和不低于680萬人次，那么該公司的購車方案有哪幾種？哪種購車方案的總費用最便宜？最便宜的總費用是多少？

分析：根據題目的已知條件（購買A型和B型車的總費用不超過1200萬元，且這10輛車的年均載客量總和不低于680萬人次）可以列出一元一次不等式組，從而求解出A型公交車數學的取值范圍，然后運用分類討論的思想方法去討論購買的方案。

求解本小題運用到了分類討論的思想。在求解出A型公交車的購買范圍后，可以分三種情況去討論該公交車公司的購買方案。如果學生掌握了分類討論思想，并且能夠熟練地運用分類討論思想解題，那么學生在解決本題時就會全面地考慮所有的方案，不會遺漏某種購買方案，從而可能導致求出的結果并不是最佳購買方案，從而導致在中考中丟分。學生只有熟練地掌握分類討論的思想，在解決本小題時，才能夠充分地考慮所有的購買方案。因此，掌握分類討論思想至關重要。教師在教學中要注重數學思想的滲透，注重加強學生運用分類討論思想去解決問題的訓練。

綜上所述，分類討論思想是中考數學考查的一種重要思想，在中考數學解題中廣泛的應用。文章只是列舉2009年，2010年，2014年這三年中的其中一道簡答題。從上述的分析可以看出，分類討論思想對學生解決中考數學題具有重要的作用。學生只有掌握分類討論思想，在遇到這類題型時，學生才能夠很好地去解決問題;才能夠全面地運用分類討論的思想全面的去考慮每一種情況。分類討論思想是一種常考查的思想方法，在中考解題中廣泛的應用。因此，學生在日常的學習中，要重視分類討論思想的學習。

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作者簡介：張成艷，海南省海口市，南寧師范大學數學與統計學院;

韋宏，海南省海口市，南寧師范大學數學與統計學院。