行列式計算教學中步進式例題設計及應用探討

王啟明 楊永富 周忠國

[摘 要]行列式計算是線性代數課程的基礎及核心內容。行列式計算的特點是性質多，方法多，技巧多，內容散，學時短。該文探討了在行列式計算教學中步進式例題設計及應用。通過一個相似例題不斷修改、變換并計算的過程，整合大量計算技巧和信息，使得學生能在有限的學時中，逐步掌握多種性質和技巧，在潛移默化中培養基本的解題能力。經過多年在翻轉課堂中的教學實踐，證明該方法能讓學生快速掌握行列式計算基本技巧，有效提高學生學習效率。

[關鍵詞]行列式計算;步進式例題設計;逐步能力培養

[中圖分類號] O151.22[文獻標識碼] J[文章編號] 1674-9324（2020）44-0-03[收稿日期] 2020-05-01

一、引言

線性代數是高校學生必修的三門數學公共基礎課程之一，在現代科學的各個領域都有廣泛的應用。與此同時線性代數這門課程具有概念多、性質多、運算多、規則多;內容抽象難懂的特點。行列式是線性代數教學中重要內容之一，貫穿線性代數中方程組求解、特征值、向量相關性等等諸多知識塊的學習中，學好行列式計算是學好線性代數這門課程的前提。但行列式計算性質多、計算方法技巧性強，加上線性代數課程通常只安排36—48個學時，授課對象為大一新生，課時緊，任務重。在有限的教學時間內，如果不能很好地安排教學內容和例題，會對初學者學習積極性造成較大影響，也對后續諸多知識點的教學制造大量障礙。因此，一些教育工作者深入探討了行列式教學的方法。張引兵等倡導采用基于典型例題的探索式教學方法[1];成樂等采用“主題詞教學法”，設計例題讓學生感悟行列式的“美”[2];何俊運用問題驅動教學法，通過列舉一些有應用背景的行列式，引導學生從問題背景出發思考行列式計算方法[3];艾春瑞等從克萊姆法則入手，設計線性方程組背景例題，讓學生能快速掌握行列式的重要性質[4]。從諸多一線工作者的研究可以看出，設計優秀教學例題是讓學生掌握、理解大量行列式性質和運算技巧的最主要方法。本文探討了在行列式計算教學中步進式例題設計及應用。通過同樣框架下，一個相似例題不斷修改、變換并計算的過程，整合大量計算技巧和信息，使得學生能在有限的學時中，逐步掌握多種性質和技巧，在潛移默化中培養基本的解題能力。

二、步進式例題設計

所謂步進式例題，即在同樣結構的一個例題上，不斷修改，不斷變化，引導學生思考例題修改前后的改變，重新挖掘新的信息，一直有一條主線牽著學生的思路，從而整合零散的知識點，讓學生逐步掌握新的技巧和方法。這正如生活中步進式開水器，由底層進水逐層步進分層加熱，逐步加熱直至水被燒開。

（一）基本例題設計

基本例題這一部分在介紹完行列式性質及計算方法后給出，該部分的例題應契合剛學習的基本性質和基本方法，強調化為上三角行列式的基本思路。

（二）初級技巧例題設計

學生經過上兩個初等變換的方法處理的計算問題訓練，可能很快將思路局限在初等變換中。第二個階段的例題設計則側重于常見計算技巧的提升，目的在于開拓學生的解題視野，提高解題能力。與此同時延續原來的題型框架中，步進式調高難度，掌握新算法。

（三）進階技巧例題設計

在本科教學中，除了上述基本方法和基本技巧以外，還有一些常用的其他計算技巧，如加邊法、遞推公式法等，這些都是學生都需要掌握的方法。這些方法對初學者來說難度較大，需精心設計例題，讓學生能快速理解和掌握這些進階的技巧。同樣這里采用步進式例題的設計，同一個框架下稍加修改，循序漸進的教學方式，能讓學生不產生抵觸情緒。

三、總結

行列式計算是線性代數課程的基礎及核心內容。面對第一次接觸線性代數的大一新生，筆者認為作為一線的教學工作者，首先應該考慮的是如何讓學生在有限的時間內盡可能掌握基本的概念性質和基本的解題方法，而不是代數學的難度和深度。因此設計為初學者準備的例題設計尤為重要。本文探討了在行列式計算教學中步進式例題設計及應用。通過同一框架下，一個相似例題經過4次變換并計算的過程，整合多種行列式計算技巧和概念，使得學生能在有限的學時中，逐步掌握行列式計算大量內容，在潛移默化中培養基本的解題能力。

參考文獻

[1]張引兵，葉永升，王慧.線性代數中的行列式教學探討[J].淮北師范大學學報（自然科學版），2013，34（1）：76-79.

[2]成樂，張曉軍，楊樹生.“主題詞教學法”在課堂教學中運用的效果分析—以“n階行列式”的課堂教學為例[J].赤峰學院學報（自然科學版），2014，30（03）：166-167.

[3]何俊.問題驅動教學法在線性代數課堂教學中的應用[J].課程教育研究，2018（48）：123-124.

[4]艾春瑞，林興君.關于行列式教學的探討[J].湖州師范學院學報，2019，41（02）：107-112.

[5]王轉德，高中喜，李厚彪.幾個行列式的計算[J].高等數學研究，2018，21（04）：82-84.